Verifique se as funções são solução da equação de Laplace
a) f(x, y)=x-y, b) f(x, y)=(x y)^{\eta}, c) f(x, y)=e^{\eta x} \sin (\eta y), d) f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), e) f(x, y)=\sin (x) \operatorname{cosh} (y), f) f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das funções abaixo satisfazem a equação de Laplace, isto é,
\nabla^{2}f = \begin{cases} f_{xx} + f_{yy} = 0, &\text{em 2D},\\\ f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} = 0, &\text{em 3D}. \end{cases}
Vamos, para cada caso, calcular as segundas derivadas parciais e somá-las.

Passo 2

Para f(x,y)=x-y:
f_x = 1,\quad f_{xx}=0,\qquad f_y = -1,\quad f_{yy}=0,
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\nabla^{2}f = f_{xx}+f_{yy}=0+0=0.
Portanto f(x,y)=x-y é solução da equação de Laplace em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Para f(x,y)=(xy)^{\eta}:
f_x = \eta\,(xy)^{\eta-1}\,y,\quad f_{xx} = \eta(\eta-1)\,(xy)^{\eta-2}\,y^2,
f_y = \eta\,(xy)^{\eta-1}\,x,\quad f_{yy} = \eta(\eta-1)\,(xy)^{\eta-2}\,x^2.
Assim
\nabla^{2}f = f_{xx}+f_{yy} = \eta(\eta-1)\,(xy)^{\eta-2}\,(y^2 + x^2).
Para que isso seja zero para todo (x,y)\neq(0,0) precisamos de \eta(\eta-1)=0, i.e.\ \eta=0 ou \eta=1.

Passo 4

Para f(x,y)=e^{\eta x}\sin(\eta y):
f_x = \eta\,e^{\eta x}\sin(\eta y),\quad f_{xx} = \eta^2\,e^{\eta x}\sin(\eta y),
f_y = \eta\,e^{\eta x}\cos(\eta y),\quad f_{yy} = -\eta^2\,e^{\eta x}\sin(\eta y).
Logo
\nabla^{2}f = f_{xx}+f_{yy} = \eta^2\,e^{\eta x}\sin(\eta y) - \eta^2\,e^{\eta x}\sin(\eta y) =0
para todo (x,y). Portanto é solução.

Passo 5

Para f(x,y)=\ln(x^2+y^2), defina r^2=x^2+y^2.
f_x = \frac{2x}{r^2},\quad f_{xx} = \frac{2}{r^2} - \frac{4x^2}{r^4} = \frac{2(r^2 - 2x^2)}{r^4},
f_y = \frac{2y}{r^2},\quad f_{yy} = \frac{2(r^2 - 2y^2)}{r^4}.
Somando:
\nabla^{2}f = \frac{2(r^2 - 2x^2) + 2(r^2 - 2y^2)}{r^4} = \frac{4r^2 - 2(x^2+y^2)\cdot 2}{r^4} =0
para todo (x,y)\neq(0,0). Logo \ln(x^2+y^2) é harmônica fora da origem.

Passo 6

Para f(x,y)=\sin(x)\operatorname{cosh}(y):
f_x = \cos(x)\operatorname{cosh}(y),\quad f_{xx} = -\sin(x)\operatorname{cosh}(y),
f_y = \sin(x)\operatorname{sinh}(y),\quad f_{yy} = \sin(x)\operatorname{cosh}(y).
Então
\nabla^{2}f = f_{xx}+f_{yy} = -\sin(x)\operatorname{cosh}(y) + \sin(x)\operatorname{cosh}(y) =0
para todo (x,y). É solução.

Passo 7

Para f(x,y,z)=\frac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac1r em \mathbb{R}^3\setminus\{0\}, sabe-se do estudo clássico que
\nabla^{2}\Bigl(\frac1r\Bigr)=0
para r\neq0. Logo é harmônica fora da origem.

Resposta

a) f(x,y)=x-y é solução.
b) f(x,y)=(xy)^{\eta} satisfaz \nabla^{2}f=0 apenas se \eta=0 ou \eta=1.
c) f(x,y)=e^{\eta x}\sin(\eta y) é solução para todo \eta.
d) f(x,y)=\ln(x^2+y^2) é solução em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
e) f(x,y)=\sin(x)\operatorname{cosh}(y) é solução.
f) f(x,y,z)=1/\sqrt{x^2+y^2+z^2} é solução em \mathbb{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}.

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