Verifique se as funções são solução da equação de Laplace
a)
, b)
, c)
, d)
, e)
, f)
a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das funções abaixo satisfazem a equação de Laplace, isto é,
Vamos, para cada caso, calcular as segundas derivadas parciais e somá-las.
Passo 2
Para
:
logo
Portanto
é solução da equação de Laplace em
.
Passo 3
Para
:
Assim
Para que isso seja zero para todo
precisamos de
, i.e.\
ou
.
Passo 4
Para
:
Logo
para todo
. Portanto é solução.
Passo 5
Para
, defina
.
Somando:
para todo
. Logo
é harmônica fora da origem.
Passo 6
Para
:
Então
para todo
. É solução.
Passo 7
Para
em
, sabe-se do estudo clássico que
para
. Logo é harmônica fora da origem.
Resposta
a)
é solução.
b) satisfaz
apenas se
ou
.
c) é solução para todo
.
d) é solução em
.
e) é solução.
f) é solução em
.
b)
c)
d)
e)
f)