Calcule o valor das expressões abaixo:
sec ^2 x-sec x cossec x1-cotg x dado cos x=14

Passo 1

O enunciado pede para calcular
sec^2x - sec x,csc x1 - cot x
sabendo que cos x = tfrac14. Vamos usar identidades trigonométricas básicas (definições de sec, csc, cot e a identidade pitagórica) e simplificar a fração resultante.

Passo 2

Determinar sin x a partir de
sin^2x + cos^2x = 1
Como cos x = tfrac14,
sin x = raiz1 - l(tfrac14r)^2 = raiztfrac1516 = raiz154,
assumindo x no primeiro quadrante.

Passo 3

Usar as definições
sec x = 1cos x, csc x = 1sin x, cot x = cos xsin x
Logo,
sec x = 4, csc x = 4raiz15, cot x = 1/4raiz15/4 = 1raiz15

Passo 4

Substituir na expressão:
sec^2x - sec x,csc x1 - cot x = 16 - 16raiz151 - 1raiz15
No numerador fatoramos 16, e notamos o fator comum 1 - tfrac1raiz15 no numerador e no denominador. Então
16l(1 - tfrac1raiz15r)1 - tfrac1raiz15 = 16

Resposta

16

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