Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
a) \left(5^{3}\right)^{-2}=5^{-6}
b) 2^{-4}=-16
c) (\pi+2)^{-2}=\pi^{-2}+2^{-2}
d) 3^{-4} \cdot 3^{5}=\frac{1}{3}
e) \frac{7^{-2}}{7^{-5}}=7^{-3}
f) \frac{5^{2}}{5^{-6}}=5^{8}
g) 2^{-1}-3^{-1}=6^{-1}
h) \pi^{1}+\pi^{-1}=1
i) \left(2^{-3}\right)^{-2}=2^{6}
j) 3^{2} \cdot 3^{-2}=1

Passo 1

O enunciado pede: classificar cada uma das sentenças abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F). As sentenças são (copiadas do enunciado):
a) \left(5^{3}\right)^{-2}=5^{-6}
b) \,2^{-4}=-16
c) \,(\pi+2)^{-2}=\pi^{-2}+2^{-2}
d) \,3^{-4} \cdot 3^{5}=\frac{1}{3}
e) \,\frac{7^{-2}}{7^{-5}}=7^{-3}
f) \,\frac{5^{2}}{5^{-6}}=5^{8}
g) \,2^{-1}-3^{-1}=6^{-1}
h) \,\pi^{1}+\pi^{-1}=1
i) \,\left(2^{-3}\right)^{-2}=2^{6}
j) \,3^{2} \cdot 3^{-2}=1
Lista das informações relevantes (o que podemos usar para testar cada igualdade):
  • as expressões com potências estão todas em base numérica (números ou \pi);
  • precisamos aplicar as propriedades de potências e avaliar ou simplificar cada lado das igualdades para comparar.

Passo 2

Antes de testar cada item, vamos revisar as propriedades de potências que usarei (explicadas passo a passo, sem assumir que você já decorou tudo — vou mastigar):
  1. Definição de potência com expoente inteiro:
  • Para base a e inteiro n>0, \,a^{n}=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a (produto com n fatores a).
  • Por convenção, \,a^{0}=1 para a\neq 0.
  1. Expoente negativo (o que significa):
  • \,a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} para a\neq 0.
    Explicação: um expoente negativo inverte a base. Ex.: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.
  1. Produto de potências de mesma base:
  • \,a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
    Explicação: juntando m fatores a com n fatores a m+n fatores.
  1. Potência de potência:
  • \,(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}.
    Explicação: elevar a^{m} à n-ésima é multiplicar os expoentes.
  1. Quociente de potências de mesma base:
  • \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} para a\neq 0.
    Explicação: cancela-se fatores iguais; sobram m-n fatores se m>n, ou dá expoente negativo se m<n.
  1. Atenção importante sobre soma dentro de potência:
  • Em geral \,(a+b)^{n}\neq a^{n}+b^{n} (a potência não distribui sobre soma). O mesmo vale para expoente negativo: (a+b)^{-2} não é a^{-2}+b^{-2} em geral.
Com essas regras já temos tudo para verificar cada igualdade. Vou simplificar os dois lados quando necessário e comparar.

Passo 3

Analisando a) \left(5^{3}\right)^{-2}=5^{-6}.
Aplicando a regra de potência de potência ( (a^{m})^{n}=a^{mn}):
\left(5^{3}\right)^{-2}=5^{3\cdot(-2)}=5^{-6}.
O lado esquerdo simplifica exatamente para 5^{-6}, que é igual ao lado direito. Portanto a igualdade é satisfeita.

Passo 4

Analisando b) \,2^{-4}=-16.
Usando a definição de expoente negativo:
2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}.
O lado direito dado é -16, que é muito diferente de \dfrac{1}{16}. Logo a igualdade não é verdadeira.

Passo 5

Analisando c) \,(\pi+2)^{-2}=\pi^{-2}+2^{-2}.
Pelo item 6 da revisão: potência não distribui sobre soma. Para deixar claro, calculo os dois lados numericamente aproximados (apenas para ver a diferença):
(\pi+2)^{-2}=\frac{1}{(\pi+2)^{2}}\quad\text{e}\quad \pi^{-2}+2^{-2}=\frac{1}{\pi^{2}}+\frac{1}{4}.
Usando \pi\approx 3{,}1416:
(\pi+2)^{-2}\approx\frac{1}{(5{,}1416)^{2}}\approx 0{,}0378,
\frac{1}{\pi^{2}}+\frac{1}{4}\approx 0{,}1013+0{,}25=0{,}3513.
Os dois lados são diferentes, portanto a igualdade é falsa.

Passo 6

Analisando d) \,3^{-4} \cdot 3^{5}=\frac{1}{3}.
Usando a regra do produto de potências da mesma base ( a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}):
3^{-4}\cdot 3^{5}=3^{-4+5}=3^{1}=3.
O resultado é 3, enquanto o lado direito da igualdade é \dfrac{1}{3}. Portanto a igualdade não é verdadeira.

Passo 7

Analisando e) \,\dfrac{7^{-2}}{7^{-5}}=7^{-3}.
Usando a regra do quociente ( \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}):
\frac{7^{-2}}{7^{-5}}=7^{-2-(-5)}=7^{3}.
O resultado correto é 7^{3}, não 7^{-3}. Assim a igualdade proposta é falsa.

Passo 8

Analisando f) \,\dfrac{5^{2}}{5^{-6}}=5^{8}.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{5^{2}}{5^{-6}}=5^{2-(-6)}=5^{8}.
Isso coincide exatamente com o lado direito. Logo a igualdade é verdadeira.

Passo 9

Analisando g) \,2^{-1}-3^{-1}=6^{-1}.
Calculo cada termo usando expoentes negativos como inversos:
2^{-1}=\frac{1}{2},\qquad 3^{-1}=\frac{1}{3},\qquad 6^{-1}=\frac{1}{6}.
Fazendo a subtração do lado esquerdo:
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}.
Isso é exatamente 6^{-1}. Portanto a igualdade é satisfeita.

Passo 10

Analisando h) \,\pi^{1}+\pi^{-1}=1.
Avalio os termos:
\pi^{1}=\pi\quad\text{e}\quad \pi^{-1}=\frac{1}{\pi},
então o lado esquerdo é \pi+\dfrac{1}{\pi}. Como \pi\approx 3{,}1416, temos \pi+\dfrac{1}{\pi}\approx 3{,}1416+0{,}3183\approx 3{,}4599, que não é 1. Logo a igualdade é falsa.

Passo 11

Analisando i) \,\left(2^{-3}\right)^{-2}=2^{6}.
Usando potência de potência:
\left(2^{-3}\right)^{-2}=2^{-3\cdot(-2)}=2^{6}.
Os dois lados coincidem: a igualdade é verdadeira.

Passo 12

Analisando j) \,3^{2} \cdot 3^{-2}=1.
Aplicando a regra do produto de potências:
3^{2}\cdot 3^{-2}=3^{2+(-2)}=3^{0}.
Pela convenção a^{0}=1 para a\neq 0, então 3^{0}=1. A igualdade é verdadeira.

Resposta

a) V
b) F
c) F
d) F
e) F
f) V
g) V
h) F
i) V
j) V

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