Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo:
a) 5^{3} \cdot 5^{2}=5^{6}
b) 3^{6}: 3^{2}=3^{3}
c) 2^{3} \cdot 3=6^{3}
d) (2+3)^{4}=2^{4}+3^{4}
e) \left(5^{3}\right)^{2}=5^{6}
f) (-2)^{6}=2^{6}
g) \frac{2^{7}}{2^{5}}=(-2)^{2}
h) 5^{2}-4^{2}=3^{2}

Passo 1

O enunciado pede que cada uma das sentenças a)–h) seja classificada como verdadeira (V) ou falsa (F). As sentenças são:
a) 5^{3}\cdot 5^{2}=5^{6}
b) 3^{6}: 3^{2}=3^{3}
c) 2^{3}\cdot 3=6^{3}
d) (2+3)^{4}=2^{4}+3^{4}
e) \left(5^{3}\right)^{2}=5^{6}
f) (-2)^{6}=2^{6}
g) \dfrac{2^{7}}{2^{5}}=(-2)^{2}
h) 5^{2}-4^{2}=3^{2}
O objetivo é, para cada item, mostrar se a igualdade é correta; vou usar as regras de potências e cálculos numéricos para justificar cada resposta.

Passo 2

Analisando a) 5^{3}\cdot 5^{2}=5^{6}.
Regra usada: para qualquer base a e expoentes inteiros m,n vale
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Aqui a=5, m=3, n=2. Aplicando a regra:
5^{3}\cdot 5^{2}=5^{3+2}=5^{5}.
Comparando com o que o enunciado afirma ( 5^{6}), vemos que não coincide. Para ficar mais claro, numericamente:
5^{5}=3125,\qquad 5^{6}=15625.
Portanto a) é falsa.

Passo 3

Analisando b) 3^{6}:3^{2}=3^{3}.
Regra usada: para divisão de potências de mesma base
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Aqui a=3, m=6, n=2. Logo
\frac{3^{6}}{3^{2}}=3^{6-2}=3^{4}.
O enunciado dizia 3^{3}, mas o correto é 3^{4}. Numericamente:
3^{4}=81,\qquad 3^{3}=27.
Portanto b) é falsa.

Passo 4

Analisando c) 2^{3}\cdot 3=6^{3}.
Observação: a propriedade que permite juntar bases é
(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.
Isso NÃO diz que a^{n}\cdot b = (ab)^{n}. Para que 2^{3}\cdot 3 fosse igual a 6^{3}=(2\cdot3)^{3}=2^{3}\cdot3^{3}, precisaríamos de 3=3^{3}, o que não é verdade. Fazendo conta:
2^{3}\cdot 3 = 8\cdot 3=24, \qquad 6^{3}=216.
Como 24\neq216, c) é falsa.

Passo 5

Analisando d) (2+3)^{4}=2^{4}+3^{4}.
Regra importante: em geral
(a+b)^{n}\neq a^{n}+b^{n}
exceto em casos triviais (por exemplo n=1). A fórmula correta é a expansão pelo binómio de Newton:
(a+b)^{4}=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}a^{4-k}b^{k},
que dá termos mistos. Numericamente:
(2+3)^{4}=5^{4}=625, \qquad 2^{4}+3^{4}=16+81=97.
Logo 625\neq97 e d) é falsa.

Passo 6

Analisando e) \left(5^{3}\right)^{2}=5^{6}.
Regra usada: potência de potência
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}.
Aqui a=5, m=3, n=2. Então
\left(5^{3}\right)^{2}=5^{3\cdot 2}=5^{6}.
Numericamente, \left(5^{3}\right)^{2}=125^{2}=15625 e 5^{6}=15625, coincidem. Portanto e) é verdadeira.

Passo 7

Analisando f) (-2)^{6}=2^{6}.
Regra sobre sinais: (-a)^{n}=(-1)^{n}a^{n}. Se n é par, (-1)^{n}=1, portanto (-a)^{n}=a^{n}. Aqui n=6 é par, logo
(-2)^{6}=2^{6}.
Numericamente, ambos valem 64. Portanto f) é verdadeira.

Passo 8

Analisando g) \dfrac{2^{7}}{2^{5}}=(-2)^{2}.
Esquerda: usando a regra da divisão de potências com mesma base,
\frac{2^{7}}{2^{5}}=2^{7-5}=2^{2}=4.
Direita: (-2)^{2}=(-1)^{2}\cdot 2^{2}=1\cdot 4=4. Como ambos dão 4, a igualdade é correta. Observação útil: aqui deu certo porque o expoente à direita é par; se fosse ímpar haveria sinal negativo. Portanto g) é verdadeira.

Passo 9

Analisando h) 5^{2}-4^{2}=3^{2}.
Calculando diretamente:
5^{2}-4^{2}=25-16=9, \qquad 3^{2}=9.
Portanto a igualdade é verdadeira. Comentário adicional: isto é um caso do fato a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b); com a=5, b=4 tem-se (5-4)(5+4)=1\cdot9=9.

Resposta

a) F
b) F
c) F
d) F
e) V
f) V
g) V
h) V

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