(2 pontos) Considere a matriz abaixo:
A=\left[\begin{array}{lll} 3 & 1 & 4 \\\\ 1 & 8 & 1 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
Sabendo-se que 9, 6 e -1 são autovalores desta matriz, encontre o espaço dos autovetores desta matriz.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4\\\\ 1 & 8 & 1\\\\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e informa que os autovalores são \lambda_{1}=9, \lambda_{2}=6 e \lambda_{3}=-1.
O que precisamos achar é, para cada \lambda, o espaço próprio
E_{\lambda} = \{\,v\in\mathbb{R}^3 : (A-\lambda I)v = 0\},
ou seja, resolver (A-\lambda I)v=0 por eliminação de Gauss.

Passo 2

Autovalor \lambda_{1}=9\). Calculamos \[A - 9I = \begin{pmatrix} 3-9 & 1 & 4 \\\\ 1 & 8-9 & 1 \\\\ 4 & 1 & 3-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 1 & 4\\\\ 1 & -1& 1\\\\ 4 & 1 & -6 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A-9I)(x,y,z)^{T}=0, obtemos o sistema
\begin{cases} -6x + y + 4z = 0,\\\ x - y + z = 0,\\\\ 4x + y - 6z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y = x+z\]. Substituindo na primeira: \(-6x + (x+z) +4z = -5x +5z =0\implies z = x.
Logo y=2x. Isso satisfaz também a terceira equação.
Portanto
E_{9} = \{\,t\,(1,2,1) : t\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Autovalor \lambda_{2}=6\). Temos \[A - 6I = \begin{pmatrix} 3-6 & 1 & 4 \\\\ 1 & 8-6 & 1 \\\\ 4 & 1 & 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 4\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Resolvendo (A-6I)(x,y,z)^{T}=0, o sistema é
\begin{cases} -3x + y + 4z = 0,\\\ x + 2y + z = 0,\\\\ 4x + y - 3z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x = -2y - z\]. Substituindo na primeira: \(-3(-2y-z)+y+4z = 6y+3z+y+4z =7y+7z=0\implies y=-z.
Então x = -2(-z)-z = z. Isso satisfaz igualmente a terceira equação.
Logo
E_{6} = \{\,t\,(1,-1,1) : t\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Autovalor \lambda_{3}=-1\). Calculamos \[A - (-1)I = A + I = \begin{pmatrix} 3+1 & 1 & 4 \\\\ 1 & 8+1 & 1 \\\\ 4 & 1 & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 4\\\\ 1 & 9 & 1\\\\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
O sistema (A+I)(x,y,z)^{T}=0 é
\begin{cases} 4x + y + 4z = 0,\\\ x + 9y + z = 0,\\\\ 4x + y + 4z = 0. \end{cases}
As equações 1 e 3 são idênticas. Da segunda vem x = -9y - z\]. Substituindo na primeira: \(4(-9y-z)+y+4z = -36y-4z+y+4z = -35y =0\implies y=0.
Então x = -z.
Logo
E_{-1} = \{\,t\,(-1,0,1) : t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

E_{9} = \text{Span}\{(1,2,1)\},\quad E_{6} = \text{Span}\{(1,-1,1)\},\quad E_{-1} = \text{Span}\{(-1,0,1)\}.

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