(2 pontos) Seja a matriz A abaixo. Encontre os autovalores de A.
A=\left[\begin{array}{cc} 7 & 8 \\\\ -4 & -5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}7 & 8 \\\\ -4 & -5\end{pmatrix}
e pede os autovalores. Vamos usar o polinômio característico, que se obtém resolvendo
\det(A - \lambda I)=0.

Passo 2

Escrevemos a matriz A - \lambda I e calculamos seu determinante:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}7 - \lambda & 8 \\\\ -4 & -5 - \lambda\end{pmatrix}.

Passo 3

Expandindo o determinante, temos
\det(A - \lambda I) = (7 - \lambda)(-5 - \lambda) - (8)(-4) = \lambda^2 - 2\lambda - 35 + 32 = \lambda^2 - 2\lambda - 3.

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação
\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.

Passo 5

As soluções são
\lambda_1 = \tfrac{2 + 4}{2} = 3
e
\lambda_2 = \tfrac{2 - 4}{2} = -1.

Resposta

Os autovalores de A são 3 e -1.

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