Calcule o valor de:
\frac{14!}{12!+10!}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a razão entre dois valores fatoriais:
\frac{14!}{12! + 10!}.
O conteúdo principal é o uso da propriedade de fatoriais n! = n \times (n-1)! para fatorar termos e simplificar a expressão.

Passo 2

Use a propriedade de fatoriais para escrever 14! em função de 12!. Como para qualquer n\ge1 vale
n! = n \times (n-1)!,
temos
14! = 14 \times 13 \times 12!.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador 12! + 10! evidenciando 10!. Note que
12! = 12 \times 11 \times 10!,
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12! + 10! = 10! \bigl(12 \times 11 + 1\bigr) = 10! \times 133.

Passo 4

Substituindo essas expressões na razão original,
\frac{14!}{12! + 10!} = \frac{14 \times 13 \times 12!}{10! \times 133} = \frac{14 \times 13 \times \bigl(12 \times 11 \times 10!\bigr)}{10! \times 133}.
Podemos cancelar 10! em cima e embaixo:
\frac{14!}{12! + 10!} = \frac{14 \times 13 \times (12 \times 11)}{133} = \frac{14 \times 13 \times 132}{133}.

Passo 5

Calcule o produto no numerador:
14 \times 13 = 182,
182 \times 132 = 24024.
Então a fração torna-se
\frac{24024}{133}.

Passo 6

Observe que 133 = 7 \times 19 e 24024 = 7 \times 3432. Cancelando o fator comum 7, obtemos
\frac{24024}{133} = \frac{7 \times 3432}{7 \times 19} = \frac{3432}{19}.

Resposta

\displaystyle \frac{3432}{19}

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