Calcule o valor de:
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor de
. Informação importante que usamos:
é a unidade imaginária definida por
.
Passo 2
Vamos listar as primeiras potências de
para ver um padrão:
Explicando devagarinho: cada potência seguinte é obtida multiplicando a anterior por
. Por exemplo,
e
.
Passo 3
Da lista acima vemos que as potências de
repetem a cada quatro expoentes:
e então volta para
e assim por diante. Em termos matemáticos isso decorre de:
onde
é o quociente inteiro e
é o resto da divisão do expoente por
, com
.
Passo 4
Portanto basta reduzir o expoente
módulo
, ou seja, encontrar o resto da divisão de
por
. Façamos a divisão inteira:
logo o resto é
.
Passo 5
Usando a propriedade do passo anterior, temos