Calcule o valor de:
i^{217}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor de i^{217}. Informação importante que usamos: i é a unidade imaginária definida por i^{2}=-1.

Passo 2

Vamos listar as primeiras potências de i para ver um padrão:
i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1.
Explicando devagarinho: cada potência seguinte é obtida multiplicando a anterior por i. Por exemplo, i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i e i^{4}=i^{3}\cdot i=(-i)\cdot i= -i^{2}= -(-1)=1.

Passo 3

Da lista acima vemos que as potências de i repetem a cada quatro expoentes: i^{1},i^{2},i^{3},i^{4} e então volta para i^{5}=i e assim por diante. Em termos matemáticos isso decorre de:
i^{4}=1\quad\Rightarrow\quad i^{4q+r}=(i^{4})^{q}\,i^{r}=1^{q}\,i^{r}=i^{r},
onde q é o quociente inteiro e r é o resto da divisão do expoente por 4, com r\in\{0,1,2,3\}.

Passo 4

Portanto basta reduzir o expoente 217 módulo 4, ou seja, encontrar o resto da divisão de 217 por 4. Façamos a divisão inteira:
217 = 4\cdot 54 + 1,
logo o resto é r=1.

Passo 5

Usando a propriedade do passo anterior, temos
i^{217}=i^{4\cdot 54 + 1}=i^{1}=i.

Resposta

i

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