Calcule o valor de k para que a função \qquad /2,0 pts)
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{y^{2}+4}-2}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ k+5, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
seja contínua.

Passo 1

O enunciado define \r
\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+4}-2},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt]k+5,&\text{se }(x,y)=(0,0).\end{cases} \r
Queremos que f seja contínua em (0,0). Isso significa que \r
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+4}-2}\;=\;f(0,0)=k+5. \r
Precisamos, então, calcular esse limite.]

Passo 2

Para simplificar a expressão com o radical no denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{y^{2}+4}+2:
\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+4}-2} =\frac{x^{2}y^{2}\bigl(\sqrt{y^{2}+4}+2\bigr)}{\bigl(\sqrt{y^{2}+4}\bigr)^{2}-2^{2}} =\frac{x^{2}y^{2}\bigl(\sqrt{y^{2}+4}+2\bigr)}{y^{2}}.
Como y\neq0 fora da origem, podemos cancelar y^{2}, obtendo
f(x,y)=x^{2}\,\bigl(\sqrt{y^{2}+4}+2\bigr) \quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Agora calculamos o limite: ao irmos para (0,0), temos \sqrt{y^{2}+4}\to2, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{2}\,\bigl(\sqrt{y^{2}+4}+2\bigr) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{2}\,(2+2) =4\lim_{x\to0}x^{2} =0.

Passo 4

Para que f seja contínua em (0,0), deve valer
k+5 =\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =0.
Logo
k=-5.

Resposta

k=-5.

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