Determine a solução geral das seguintes EDOs.
Resolva as equações diferenciais:
\frac{d s}{d t}+\frac{s}{t}=\cos t+\frac{\operatorname{sen} t}{t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem \r
\frac{ds}{dt} + \frac{s}{t} = \cos t + \frac{\sin t}{t}. \r
Aqui o conteúdo é EDO linear: identificamos P(t)=1/t, Q(t)=\cos t + \sin t/t e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \r
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{t}\,dt\Bigr) = \exp(\ln|t|) = t.

Passo 3

Multiplicamos toda a EDO por \mu(t)=t, obtendo \r
t\frac{ds}{dt} + s = t\cos t + \sin t. \r
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t\,s, ou seja \r
\frac{d}{dt}\bigl(t\,s\bigr) = t\cos t + \sin t.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t: \r
\int \frac{d}{dt}\bigl(t\,s\bigr)\,dt = \int \bigl(t\cos t + \sin t\bigr)\,dt. \r
No lado direito separamos \r
\int t\cos t\,dt + \int \sin t\,dt. \r
Para \int t\cos t\,dt fazemos integração por partes com u=t, dv=\cos t\,dt, de modo que \r
\int t\cos t\,dt = t\sin t - \int \sin t\,dt = t\sin t + \cos t. \r
E \r
\int \sin t\,dt = -\cos t.

Passo 5

Somando as primitivas do lado direito resulta \r
t\sin t + \cos t + (-\cos t) = t\sin t. \r
Logo \r
t\,s = t\sin t + C, \r
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando s obtemos a solução geral \r
s(t) = \sin t + \frac{C}{t}.

Resposta

s(t) = \sin t + \dfrac{C}{t}.

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