f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{3}+x y^{4}}{x^{2}+y^{4}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(b) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(-2,3)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(c) f é contínua em (0,0) ? Justifique.
(d) f é contínua em (-2,3) ? Justifique.
e pede os limites em (0,0) e em (-2,3), além de verificar continuidade nesses pontos. O conteúdo é limite e continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar fatoração e definição de continuidade.
Para verificar continuidade em (0,0), usamos que f(0,0)=0 e \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. Como coincidem, f é contínua em (0,0).
Para verificar continuidade em (-2,3), como (-2,3)\neq(0,0) vale f(-2,3)=-2 (pela simplificação f(x,y)=x) e a \lim_{(x,y)\to(-2,3)}f(x,y)=-2. Como coincidem, f é contínua em (-2,3).
Resposta
(a) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0
(b) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(-2,3)}f(x,y)=-2
(c) f é contínua em (0,0), pois \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
(d) f é contínua em (-2,3), pois \lim_{(x,y)\to(-2,3)}f(x,y)=f(-2,3)=-2.