Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(-2,-2)} \frac{3 x^{2}+x y-4 y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\frac{3x^{2}+x y-4y^{2}}{x^{2}-y^{2}}
quando (x,y)\to(-2,-2). O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos precisar de fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Tentando substituição direta em x=-2, y=-2 obtemos
\text{numerador} =3(-2)^{2}+(-2)(-2)-4(-2)^{2}=12+4-16=0,
\text{denominador} =(-2)^{2}-(-2)^{2}=4-4=0,
logo dá forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador:
3x^{2}+xy-4y^{2}=(3x+4y)(x-y),
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Since x\neq y perto de (-2,-2), cancelamos x-y e obtemos
\frac{3x^{2}+xy-4y^{2}}{x^{2}-y^{2}} =\frac{3x+4y}{\,x+y\,}.

Passo 4

Agora avaliamos a expressão simplificada em (x,y)=(-2,-2):
\frac{3(-2)+4(-2)}{-2+(-2)} =\frac{-6-8}{-4} =\frac{-14}{-4} =\frac{7}{2}.
Como a função simplificada é contínua em (-2,-2), esse é o valor do limite.

Resposta

O limite existe e vale \tfrac{7}{2}.

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