Determine a solução geral das seguintes EDOs.
Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}=x^{3} y^{3}-x y

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da EDO
y' = x^{3}y^{3} - x y.
O que vamos usar aqui é uma transformação que torne a equação linear em outra função de y. Note que a EDO tem termos em y^{3} e em y, sugerindo uma substituição típica de Bernoulli ou algo que simplifique potências de y.

Passo 2

Observamos que se definirmos
v = y^{-2},
então
\frac{dv}{dx} = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx}.
Como \displaystyle y' = x^{3}y^{3}-x y, temos
y^{-3}y' = x^{3} - x\,y^{-2} = x^{3} - x v.
Logo,
\frac{dv}{dx} = -2\bigl(x^{3} - x v\bigr) = -2x^{3} + 2x\,v.
Reescrevendo,
\frac{dv}{dx} - 2x\,v = -2x^{3}.

Passo 3

A equação em v
\frac{dv}{dx} - 2x\,v = -2x^{3}
é linear de coeficiente variável. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\biggl(\int -2x\,dx\biggr) = \exp(-x^{2}).
Multiplicando a EDO por \mu(x)
\frac{d}{dx}\bigl(v\,e^{-x^{2}}\bigr) = -2x^{3}\,e^{-x^{2}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
v\,e^{-x^{2}} = \int -2x^{3}e^{-x^{2}}\,dx + C.
Para calcular a integral, use t = x^{2}, dt = 2x\,dx. Então
\int -2x^{3}e^{-x^{2}}\,dx = \int -t\,e^{-t}\,dt = e^{-t}(t+1) + C_{1} = e^{-x^{2}}(x^{2}+1) + C_{1}.
Logo
v\,e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}(x^{2}+1) + C,
onde absorvemos C_{1} em C.

Passo 5

Isolando v,
v = x^{2} + 1 + C\,e^{x^{2}}.
Lembrando que v = y^{-2}, temos
y^{-2} = x^{2} + 1 + C\,e^{x^{2}}.
Tomando a raiz quadrada (com o sinal \pm que corresponde à condição inicial),
y = \pm \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1 + C\,e^{x^{2}}}}.

Resposta

y(x) = \pm \bigl(x^{2} + 1 + C\,e^{x^{2}}\bigr)^{-\tfrac12},
onde C é constante arbitrária.

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