Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de k para que a função f(x, y) seja contínua. Isso envolve entender um pouco sobre continuidade de funções e como calcular limites. Vamos precisar usar propriedades de limites e manipular expressões matemáticas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que f(x, y) seja contínua em (0,0) . Então, precisamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) e igualar esse limite a f(0,0) .
Passo 3
Vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) . A função está definida de duas formas, mas para o limite, vamos usar a definição para (x, y) neq (0,0) :
f(x, y) = x^4 y^42 - raizx^4 +4 + 8(x+1)
Primeiro, analisamos cada parte separadamente.
Passo 4
Vamos olhar para a fração x^4 y^42 - raizx^4 +4 . Quando x tende a 0, x^4 também tende a 0. Então, raizx^4 +4 = raiz4 + x^4 .
Quando x é muito pequeno, x^4 é quase 0, então raiz4 + x^4 approx raiz4 = 2 .
Portanto, o denominador 2 - raizx^4 +4 approx 2 - 2 = 0 . Isso parece problemático, mas vamos analisar mais a fundo.
Passo 5
Para entender melhor o comportamento, podemos expandir raiz4 + x^4 usando a aproximação de Taylor: