Calcule o valor de k para que a função
f(x, y)=cl x^4 y^42-raizx^4+4+8(x+1), & se (x, y) neq(0,0) k^2+4, & se (x, y)=(0,0)
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de k para que a função f(x, y) seja contínua. Isso envolve entender um pouco sobre continuidade de funções e como calcular limites. Vamos precisar usar propriedades de limites e manipular expressões matemáticas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que f(x, y) seja contínua em (0,0) . Então, precisamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) e igualar esse limite a f(0,0) .

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) . A função está definida de duas formas, mas para o limite, vamos usar a definição para (x, y) neq (0,0) :
f(x, y) = x^4 y^42 - raizx^4 +4 + 8(x+1)
Primeiro, analisamos cada parte separadamente.

Passo 4

Vamos olhar para a fração x^4 y^42 - raizx^4 +4 . Quando x tende a 0, x^4 também tende a 0. Então, raizx^4 +4 = raiz4 + x^4 .
Quando x é muito pequeno, x^4 é quase 0, então raiz4 + x^4 approx raiz4 = 2 .
Portanto, o denominador 2 - raizx^4 +4 approx 2 - 2 = 0 . Isso parece problemático, mas vamos analisar mais a fundo.

Passo 5

Para entender melhor o comportamento, podemos expandir raiz4 + x^4 usando a aproximação de Taylor:
raiz4 + x^4 = 2 + x^44 cdot 2 + dots = 2 + x^48 + dots
Então, o denominador fica:
2 - raiz4 + x^4 approx 2 - (2 + x^48) = -x^48
Agora, substituindo de volta na fração:
x^4 y^42 - raizx^4 +4 approx x^4 y^4-x^48 = -8 y^4

Passo 6

Agora, a expressão original fica aproximada por:
f(x, y) approx -8 y^4 + 8(x + 1)
Vamos calcular o limite quando (x, y) tende a (0,0) :
lim(x,y) to (0,0) (-8 y^4 + 8(x + 1)) = -8 cdot 0 + 8(0 + 1) = 8
Então, o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 8.

Passo 7

Para que a função seja contínua em (0,0) , o limite que encontramos deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
k^2 + 4 = 8
Vamos resolver essa equação para encontrar k .

Passo 8

Subtraindo 4 de ambos os lados:
k^2 = 8 - 4 k^2 = 4
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
k = pm 2

Resposta

Os valores de k que tornam a função contínua são k = 2 e k = -2 .

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