Considere a função
f(x, y)=cc x^5+x y^2x^4+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 3, & se (x, y)=(0,0) é contínua em f? Justifique.

Passo 1

Neste exercício, queremos verificar se a função
f(x, y)= x^5+x y^2x^4+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 3, & se (x, y)=(0,0)
é contínua no ponto (-3,2). Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função f no ponto (-3,2). Como (-3,2) neq (0,0), usamos a primeira parte da definição da função:
f(-3,2) = (-3)^5 + (-3)(2)^2(-3)^4 + (2)^2
Calculando o numerador e o denominador:
  • Numerador: (-3)^5 = -243 e (-3)(2)^2 = -3 times 4 = -12. Então, -243 + (-12) = -255.
  • Denominador: (-3)^4 = 81 e (2)^2 = 4. Então, 81 + 4 = 85.
Portanto:
f(-3,2) = -25585 = -3

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (-3,2). Para funções de duas variáveis, é importante verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos pelo longo de diferentes caminhos.
Caminho 1: Aproximando-se ao longo de y = 2
Substituindo y = 2 na função:
f(x,2) = x^5 + x(2)^2x^4 + (2)^2 = x^5 + 4xx^4 + 4
Calculando o limite quando x to -3:
limx to -3 x^5 + 4xx^4 + 4 = (-3)^5 + 4(-3)(-3)^4 + 4 = -243 -1281 + 4 = -25585 = -3
Caminho 2: Aproximando-se ao longo de x = -3
Substituindo x = -3 na função:
f(-3,y) = (-3)^5 + (-3)y^2(-3)^4 + y^2 = -243 -3y^281 + y^2
Calculando o limite quando y to 2:
limy to 2 -243 -3y^281 + y^2 = -243 -1281 + 4 = -25585 = -3
Como os limites pelos dois caminhos são iguais a -3, podemos concluir que o limite geral é -3.

Passo 4

Agora, comparamos o limite encontrado com o valor da função no ponto (-3,2):
  • Limite: lim(x,y) to (-3,2) f(x,y) = -3
  • Valor da função: f(-3,2) = -3
Como o limite coincide com o valor da função no ponto, isso satisfaz a condição de continuidade.

Resposta

Sim, a função f é contínua em (-3,2), pois o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (-3,2) é igual ao valor da função nesse ponto.

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