Considere a função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Neste exercício, queremos verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
no ponto
. Como
, usamos a primeira parte da definição da função:
Calculando o numerador e o denominador:
- Numerador:
e . Então, . - Denominador:
e . Então, .
Portanto:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para funções de duas variáveis, é importante verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos pelo longo de diferentes caminhos.
Caminho 1: Aproximando-se ao longo de
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Caminho 2: Aproximando-se ao longo de
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Como os limites pelos dois caminhos são iguais a
, podemos concluir que o limite geral é
.
Passo 4
Agora, comparamos o limite encontrado com o valor da função no ponto
:
- Limite:
- Valor da função:
Como o limite coincide com o valor da função no ponto, isso satisfaz a condição de continuidade.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
, pois o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.