Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
z=x^3-2 x y+y^2, no ponto (2,1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por z = x^3 - 2xy + y^2 no ponto (2, 1, 3) . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas parciais e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y no ponto dado e usar essas informações para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície: z = f(x, y) = x^3 - 2xy + y^2 . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (2, 1, 3) .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos calcular fx e fy :
  • Derivada parcial de f em relação a x :
fx = partial fpartial x = 3x^2 - 2y
  • Derivada parcial de f em relação a y :
fy = partial fpartial y = -2x + 2y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (2, 1) :
  • fx(2, 1) = 3(2)^2 - 2(1) = 12 - 2 = 10
  • fy(2, 1) = -2(2) + 2(1) = -4 + 2 = -2

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Onde (x0, y0, z0) é o ponto de tangência, que no nosso caso é (2, 1, 3) .
Substituindo os valores:
z = 3 + 10(x - 2) - 2(y - 1)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
z = 3 + 10x - 20 - 2y + 2
z = 10x - 2y - 15

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto (2, 1, 3) é:
z = 10x - 2y - 15

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