Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
, no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas parciais e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado e usar essas informações para montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície:
. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto
.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Vamos calcular
e
:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Onde
é o ponto de tangência, que no nosso caso é
.
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: