Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
, no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e a fórmula para a equação do plano tangente em geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. É um plano que “toca” uma superfície em um ponto específico, sem cortar a superfície por ali. Para encontrar esse plano, usamos as derivadas parciais da função que define a superfície.
Passo 3
A equação geral do plano tangente à superfície
no ponto
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora que temos as derivadas avaliadas no ponto, substituímos na fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: