Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
z=e igwed>=(x y), no ponto (0,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por z = e^xy no ponto (0, 1, 1). Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e a fórmula para a equação do plano tangente em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. É um plano que “toca” uma superfície em um ponto específico, sem cortar a superfície por ali. Para encontrar esse plano, usamos as derivadas parciais da função que define a superfície.

Passo 3

A equação geral do plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto (x0, y0, z0) é dada por:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Aqui, fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) = e^xy .
  • Derivada parcial em relação a x :
fx = partialpartial x e^xy = y e^xy
  • Derivada parcial em relação a y :
fy = partialpartial y e^xy = x e^xy

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado (0, 1, 1):
  • Para fx(0, 1) :
fx(0, 1) = 1 cdot e^0 cdot 1 = 1 cdot e^0 = 1 cdot 1 = 1
  • Para fy(0, 1) :
fy(0, 1) = 0 cdot e^0 cdot 1 = 0 cdot e^0 = 0 cdot 1 = 0

Passo 6

Agora que temos as derivadas avaliadas no ponto, substituímos na fórmula do plano tangente:
z - 1 = 1 cdot (x - 0) + 0 cdot (y - 1)
Simplificando:
z - 1 = x

Resposta

A equação do plano tangente à superfície z = e^xy no ponto (0, 1, 1) é:
z = x + 1

Exercícios relacionados