Calcule um valor de s para que a função
f(x, y)=cc x^4-y^4x-y, & se (x, y) neq(2,2) s+3, & se (x, y)=(2,2) ,
seja contínua em (2,2) ? Justifique.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a função
f(x,y)= dfracx^4-y^4x-y,& (x,y)neq(2,2), s+3,& (x,y)=(2,2)
deve ser contínua em (2,2). Para isso, precisamos encontrar s tal que
lim(x,y)to(2,2)f(x,y)=f(2,2)=s+3
O conteúdo é limite de função de várias variáveis e continuidade, usando fatoração algébrica.

Passo 2

Para (x,y)neq(2,2) fatoramos o numerador:
x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)
Logo,
x^4-y^4x-y=(x+y)(x^2+y^2)

Passo 3

A função
g(x,y)=(x+y)(x^2+y^2)
é polinomial, logo contínua. Assim
lim(x,y)to(2,2)f(x,y) =lim(x,y)to(2,2)g(x,y) =g(2,2)
Calculando,
g(2,2)=(2+2)l(2^2+2^2r)=4cdot8=32

Passo 4

Para f ser contínua em (2,2) vale
s+3=lim(x,y)to(2,2)f(x,y)=32,
logo
s=29

Resposta

s=29

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