Existe um valor de [k) para que a função
seja contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir se existe um valor de k que torne a função f(x, y) contínua no ponto (0, 0) . Além disso, precisamos verificar a continuidade da função em todos os outros pontos (x, y) neq (0, 0) .
Estamos lidando com funções de duas variáveis e o conceito de continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a continuidade em um ponto específico e também analisar a função quando estamos fora desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua no ponto (0, 0) . Uma função f(x, y) é contínua em (0, 0) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0)
No nosso caso, f(0, 0) = k^2 - 1 .

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . A função para (x, y) neq (0, 0) é:
f(x, y) = x^3 + x y^2x^2 + y^2
Para encontrar o limite, podemos converter para coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta , e r = raizx^2 + y^2 tende a 0.

Passo 4

Substituindo x e y por r cos theta e r sin theta na função:
f(r, theta) = (r cos theta)^3 + (r cos theta)(r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2
Simplificando:
f(r, theta) = r^3 cos^3 theta + r^3 cos theta sin^2 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^3 (cos^3 theta + cos theta sin^2 theta)r^2 = r (cos^3 theta + cos theta sin^2 theta)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de f(r, theta) quando r tende a 0:
limr to 0 r (cos^3 theta + cos theta sin^2 theta) = 0 times (cos^3 theta + cos theta sin^2 theta) = 0
Portanto, o limite da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) é 0.

Passo 6

Para que a função seja contínua em (0, 0) , esse limite precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
0 = k^2 - 1
Resolvendo para k :
k^2 = 1 implies k = pm 1

Passo 7

Agora, vamos verificar a continuidade da função em todos os outros pontos (x, y) neq (0, 0) . Isso significa que precisamos garantir que não haja nenhum ponto fora de (0, 0) onde a função não seja contínua.
A função f(x, y) = x^3 + x y^2x^2 + y^2 é uma razão de polinômios. Como o denominador x^2 + y^2 nunca é zero para (x, y) neq (0, 0) , a função está bem definida e contínua em todo lugar fora de (0, 0) .

Resposta

Sim, existe um valor de k que torna a função contínua em (0, 0) . Os valores possíveis para k são k = 1 ou k = -1 . Além disso, a função é contínua em todos os pontos (x, y) neq (0, 0) .

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