Existe um valor de [k) para que a função
seja contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir se existe um valor de
que torne a função
contínua no ponto
. Além disso, precisamos verificar a continuidade da função em todos os outros pontos
.
Estamos lidando com funções de duas variáveis e o conceito de continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a continuidade em um ponto específico e também analisar a função quando estamos fora desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua no ponto
. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função para
é:
Para encontrar o limite, podemos converter para coordenadas polares, onde
e
, e
tende a 0.
Passo 4
Substituindo
e
por
e
na função:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende a 0:
Portanto, o limite da função
quando
se aproxima de
é 0.
Passo 6
Para que a função seja contínua em
, esse limite precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, vamos verificar a continuidade da função em todos os outros pontos
. Isso significa que precisamos garantir que não haja nenhum ponto fora de
onde a função não seja contínua.
A função
é uma razão de polinômios. Como o denominador
nunca é zero para
, a função está bem definida e contínua em todo lugar fora de
.
Resposta
Sim, existe um valor de
que torna a função contínua em
. Os valores possíveis para
são
ou
. Além disso, a função é contínua em todos os pontos
.