(a) Calcule o valor de
.
(b) Explique porque o resultado desta integral não pode ser entendido como a área da região delimitada pelo gráfico desta função no intervalo
.
(c) Determine a área da região descrita no item b).
(a) Calcule o valor de
(b) Explique porque o resultado desta integral não pode ser entendido como a área da região delimitada pelo gráfico desta função no intervalo
(c) Determine a área da região descrita no item b).
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
no intervalo
:
– (a) calcular a integral definida ,
– (b) explicar por que esse resultado não coincide com a área geométrica sob o gráfico,
– (c) determinar de fato a área dessa região.
O conteúdo envolve integrais definidas, interpretação de “área orientada” (signed area) e cálculo de área sob curva usando valor absoluto.
– (a) calcular a integral definida
– (b) explicar por que esse resultado não coincide com a área geométrica sob o gráfico,
– (c) determinar de fato a área dessa região.
O conteúdo envolve integrais definidas, interpretação de “área orientada” (signed area) e cálculo de área sob curva usando valor absoluto.
Passo 2
Para (a), encontramos a primitiva de
e avaliamos nos limites:
Logo,
Passo 3
O valor zero não representa a área geométrica porque a integral definida acumula áreas com sinal:
– Onde (de
a
), contribuições são positivas.
– Onde (de
a
), contribuições são negativas e anulam as positivas.
Por isso é a soma algébrica dessas áreas, não a área total.
– Onde
– Onde
Por isso
Passo 4
Para (c), calculamos a área como soma das áreas positivas em cada parte, usando
:
No primeiro termo:
No segundo termo:
Somando as duas áreas:
Resposta
(a)
(b) Porque a integral definida calcula área com sinal — partes acima do eixo somam positivamente e partes abaixo somam negativamente, cancelando-se —, não a área geométrica.
(c)
(b) Porque a integral definida calcula área com sinal — partes acima do eixo
(c)