(3,0)
(a) Calcule o valor de \int_{0}^{2 \pi} \sin (x) d x.
(b) Explique porque o resultado desta integral não pode ser entendido como a área da região delimitada pelo gráfico desta função no intervalo [0,2 \pi].
(c) Determine a área da região descrita no item b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função \sin(x) no intervalo [0,2\pi]:
– (a) calcular a integral definida \int_{0}^{2\pi}\sin(x)\,dx,
– (b) explicar por que esse resultado não coincide com a área geométrica sob o gráfico,
– (c) determinar de fato a área dessa região.
O conteúdo envolve integrais definidas, interpretação de “área orientada” (signed area) e cálculo de área sob curva usando valor absoluto.

Passo 2

Para (a), encontramos a primitiva de \sin(x) e avaliamos nos limites:
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x).
Logo,
\int_{0}^{2\pi}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{2\pi} = \bigl(-\cos(2\pi)\bigr)-\bigl(-\cos(0)\bigr) = \bigl(-1\bigr)-\bigl(-1\bigr) = 0.

Passo 3

O valor zero não representa a área geométrica porque a integral definida acumula áreas com sinal:
– Onde \sin(x)\ge0 (de 0 a \pi), contribuições são positivas.
– Onde \sin(x)\le0 (de \pi a 2\pi), contribuições são negativas e anulam as positivas.
Por isso \int_{0}^{2\pi}\sin(x)\,dx é a soma algébrica dessas áreas, não a área total.

Passo 4

Para (c), calculamos a área como soma das áreas positivas em cada parte, usando \lvert\sin(x)\rvert:
\text{Área} = \int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx \;+\;\int_{\pi}^{2\pi}(-\sin(x))\,dx.Á
No primeiro termo:
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos(\pi)\bigr)-\bigl(-\cos(0)\bigr) = \bigl(-(-1)\bigr)-\bigl(-1\bigr) = 2.
No segundo termo:
\int_{\pi}^{2\pi}(-\sin(x))\,dx = \bigl[\cos(x)\bigr]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi)-\cos(\pi) = 1-(-1) = 2.
Somando as duas áreas:
\text{Área total} = 2 + 2 = 4.Á

Resposta

(a) 0
(b) Porque a integral definida calcula área com sinal — partes acima do eixo x somam positivamente e partes abaixo somam negativamente, cancelando-se —, não a área geométrica.
(c) 4

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