Esboce os gráficos e as curvas de nível das seguintes funções:
z=1+x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis
z = 1 + x^2 + y^2
e também as curvas de nível dessa superfície. O conteúdo envolve reconhecimento de superfícies quádricas e determinação de cortes e níveis. Para resolver vamos (i) estudar seções transversais da superfície em planos coordenados e (ii) resolver a equação de nível z=c.

Passo 2

Para entender o formato da superfície, fixamos uma das variáveis e observamos a curva resultante nos planos coordenados:
Se y=0, então
z = 1 + x^2,
que é uma parábola no plano xz com vértice em (0,1), abrindo para cima. De modo análogo, se x=0,
z = 1 + y^2
é uma parábola no plano yz com vértice em (0,1). Como todas as seções paralelas a esses planos são parábolas semelhantes, a superfície é um paraboloide elíptico de eixo z e vértice em (0,0,1). Em um esboço 3D, parece uma “tigela” centrada em (0,0,1), subindo simetricamente conforme |x| ou |y| aumentam.

Passo 3

Agora as curvas de nível são obtidas fixando z=c. Da equação
1 + x^2 + y^2 = c
segue
x^2 + y^2 = c - 1.
Para cada valor de c:
  • Se c<1, não há solução real (conjunto vazio).
  • Se c=1, temos o único ponto (x,y)=(0,0).
  • Se c>1, a curva de nível é o círculo de raio r = \sqrt{\,c-1\,} centrado na origem no plano xy.

Resposta

O gráfico de z=1+x^2+y^2 é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,1), abrindo para cima.
As curvas de nível z=c são:
x^2+y^2=c-1,
Isto é, círculos de raio \sqrt{c-1} centrados na origem (definidos apenas para c\ge1, com caso degenerado em c=1 sendo o ponto (0,0)).

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