Esboce os gráficos e as curvas de nível das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis
e também as curvas de nível dessa superfície. O conteúdo envolve reconhecimento de superfícies quádricas e determinação de cortes e níveis. Para resolver vamos (i) estudar seções transversais da superfície em planos coordenados e (ii) resolver a equação de nível
.
Passo 2
Para entender o formato da superfície, fixamos uma das variáveis e observamos a curva resultante nos planos coordenados:
Se , então
Se
que é uma parábola no plano
com vértice em
, abrindo para cima. De modo análogo, se
,
é uma parábola no plano
com vértice em
. Como todas as seções paralelas a esses planos são parábolas semelhantes, a superfície é um paraboloide elíptico de eixo
e vértice em
. Em um esboço 3D, parece uma “tigela” centrada em
, subindo simetricamente conforme
ou
aumentam.
Passo 3
Agora as curvas de nível são obtidas fixando
. Da equação
segue
Para cada valor de
:
- Se
, não há solução real (conjunto vazio). - Se
, temos o único ponto . - Se
, a curva de nível é o círculo de raio centrado na origem no plano .
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide elíptico com vértice em
, abrindo para cima.
As curvas de nível são:
As curvas de nível
Isto é, círculos de raio
centrados na origem (definidos apenas para
, com caso degenerado em
sendo o ponto
).