Seja
um conjunto. Mostre
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo conjunto
num espaço topológico qualquer, vale
Aqui
é o maior subconjunto aberto de
. Vamos usar as definições de interior como união de abertos e a ideia de maximalidade desse aberto.
Passo 2
Por definição
Logo
é união de conjuntos abertos, portanto é aberto, e obviamente
.
Passo 3
Seja
um conjunto aberto. Então, pela definição de interior como união de todos os abertos contidos em
, temos
-
sempre, - mas como
é aberto e , ele aparece na união definindo , logo .
Dessa forma
para todo aberto
.
Passo 4
Aplicando o resultado do passo anterior a
, que já vimos ser aberto, obtemos