Seja A um conjunto. Mostre \operatorname{int}(\operatorname{int}(A))=\operatorname{int}(A).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo conjunto A num espaço topológico qualquer, vale
\operatorname{int}\bigl(\operatorname{int}(A)\bigr)=\operatorname{int}(A).
Aqui \operatorname{int}(A) é o maior subconjunto aberto de A. Vamos usar as definições de interior como união de abertos e a ideia de maximalidade desse aberto.

Passo 2

Por definição
\operatorname{int}(A)=\bigcup\{\,U\mid U\subset A,\;U\text{ é aberto}\}.é
Logo \operatorname{int}(A) é união de conjuntos abertos, portanto é aberto, e obviamente \operatorname{int}(A)\subset A.

Passo 3

Seja U um conjunto aberto. Então, pela definição de interior como união de todos os abertos contidos em U, temos
  1. \operatorname{int}(U)\subset U sempre,
  2. mas como U é aberto e U\subset U, ele aparece na união definindo \operatorname{int}(U), logo U\subset\operatorname{int}(U).
    Dessa forma
\operatorname{int}(U)=U
para todo aberto U.

Passo 4

Aplicando o resultado do passo anterior a U=\operatorname{int}(A), que já vimos ser aberto, obtemos
\operatorname{int}\bigl(\operatorname{int}(A)\bigr) =\operatorname{int}(U) =U =\operatorname{int}(A).

Resposta

\displaystyle \operatorname{int}\bigl(\operatorname{int}(A)\bigr)=\operatorname{int}(A).

Exercícios relacionados