Questão 1. O lado l de um hexágono varia a uma taxa de t^{3}+1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que a área inicial do hexágono é de \frac{3 \sqrt{3}}{2}, calcule a variação da área do hexágono no instante t=2.
Passo 1
O enunciado diz que o lado l de um hexágono regular varia segundo
\frac{dl}{dt} = t^{3} + 1\quad\text{(m/s)},
e que, no instante inicial t=0, a área vale \frac{3\sqrt{3}}{2},m^{2}.
O que precisamos usar é a fórmula da área de um hexágono regular e derivadas relacionadas (regra da cadeia).
Passo 2
A área A de um hexágono regular de lado l é dada por
A = 6\cdot\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{4}l^{2}\Bigr) = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,l^{2}.
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A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,l^{2}.
Passo 3
Para descobrir l(t) usamos
\frac{dl}{dt} = t^{3} + 1 \quad\Longrightarrow\quad l(t) = \int (t^{3}+1)\,dt = \frac{t^{4}}{4} + t + C.