Questão 1. O lado l de um hexágono varia a uma taxa de t^{3}+1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que a área inicial do hexágono é de \frac{3 \sqrt{3}}{2}, calcule a variação da área do hexágono no instante t=2.

Passo 1

O enunciado diz que o lado l de um hexágono regular varia segundo
\frac{dl}{dt} = t^{3} + 1\quad\text{(m/s)},
e que, no instante inicial t=0, a área vale \frac{3\sqrt{3}}{2}, m^{2}.
O que precisamos usar é a fórmula da área de um hexágono regular e derivadas relacionadas (regra da cadeia).

Passo 2

A área A de um hexágono regular de lado l é dada por
A = 6\cdot\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{4}l^{2}\Bigr) = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,l^{2}.
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A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,l^{2}.

Passo 3

Para descobrir l(t) usamos
\frac{dl}{dt} = t^{3} + 1 \quad\Longrightarrow\quad l(t) = \int (t^{3}+1)\,dt = \frac{t^{4}}{4} + t + C.
Como em t=0 a área é \tfrac{3\sqrt{3}}{2}, temos
A(0)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,l(0)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad l(0)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad l(0)=1.
Assim C=1 e
l(t)=\frac{t^{4}}{4}+t+1.

Passo 4

No instante t=2 temos
l(2)=\frac{2^{4}}{4}+2+1=4+2+1=7, \qquad \frac{dl}{dt}\Big|_{t=2}=2^{3}+1=9.

Passo 5

Derivando A em função de t pela regra da cadeia:
\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,l^{2}\Bigr) =\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2\,l\cdot\frac{dl}{dt} =3\sqrt{3}\;l\;\frac{dl}{dt}.
Substituindo l(2)=7 e \frac{dl}{dt}(2)=9:
\frac{dA}{dt}\Big|_{t=2} =3\sqrt{3}\times 7\times 9 =189\sqrt{3} \quad\text{(m^{2}/s)}.

Resposta

A variação da área no instante t=2 é
\frac{dA}{dt}\Big|_{t=2}=189\sqrt{3}\\ \text{m}^2/\text{s}.

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