Calcule o valor das integrais abaixo:
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx.
Isso faz parte do conteúdo de integrais de funções racionais, e a ideia é usar divisão polinomial para simplificar o integrando antes de integrar.

Passo 2

Reescrevendo o numerador, temos
\frac{x^{2}}{1+x^{2}} =\frac{(1+x^{2})-1}{1+x^{2}} =1-\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx =\int 1\,dx \;-\;\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Sabendo que
\displaystyle \int 1\,dx = x
e
\displaystyle \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x),
segue que
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = x - \arctan(x) + C.

Resposta

x - \arctan(x) + C

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