Uma soluçāo diluída de macromoléculas (moléculas grandes de interesse biológico) a temperatura T é colocada em uma ultracentrífuga girando com velocidade angular \omega. A aceleraçāo centrípeta \omega^{2} r que atua sobre uma partícula de massa m pode entāo ser substituída por uma força centrífuga equivalente m \omega^{2} r no referencial em rotaçāo.
(a) Determine como a densidade relativa \rho(r) das moléculas varia com a distância radial r em relaçāo ao eixo de rotaçāo.
(b) Mostre quantitativamente como o peso molecular das macromoléculas pode ser determinado se a razāo de densidade \rho_{1} / \rho_{2} nos raios r_{1} e r_{2} for medida por métodos ópticos.

Passo 1

O enunciado descreve uma solução diluída de macromoléculas girando com velocidade angular \omega numa ultracentrífuga a temperatura T. Precisamos usar conceitos de distribuição de Boltzmann em presença de um potencial centrífugo para obter a densidade relativa \rho(r) em função de r e depois relacionar a razão \rho_{1}/\rho_{2} em dois raios r_{1} e r_{2} para determinar o peso molecular.

Passo 2

No referencial em rotação, cada partícula de massa m sofre um potencial efetivo centrífugo cuja energia é
U(r) = -\tfrac{1}{2}\,m\,\omega^2\,r^2.
Para uma solução diluída em equilíbrio térmico, a densidade segue a distribuição de Boltzmann
\rho(r)\propto \exp\bigl(-\tfrac{U(r)}{k\,T}\bigr).
Substituindo U(r) obtemos a variação radial da densidade.

Passo 3

Aplicando o potencial centrífugo na distribuição de Boltzmann, temos
\rho(r) = \rho(0)\,\exp\!\Bigl(\frac{m\,\omega^2\,r^2}{2\,k\,T}\Bigr),
onde \rho(0) é a densidade no eixo ( r=0).

Passo 4

Para determinar o peso molecular, medem-se as densidades \rho_{1} e \rho_{2} em dois raios r_{1} e r_{2}. Da relação anterior segue
\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \exp\!\Bigl[\frac{m\,\omega^2\,(r_{1}^2 - r_{2}^2)}{2\,k\,T}\Bigr].
Tomando logaritmo,
\ln\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \frac{m\,\omega^2\,(r_{1}^2 - r_{2}^2)}{2\,k\,T},
de onde se isola m:
m = \frac{2\,k\,T}{\omega^2\,(r_{1}^2 - r_{2}^2)}\, \ln\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}.
O peso molecular M é então M = m\,N_{A}, com N_{A} a constante de Avogadro.

Resposta

(a) \rho(r) = \rho(0)\,\exp\!\bigl(\tfrac{m\,\omega^2\,r^2}{2\,k\,T}\bigr).
(b)
m = \frac{2\,k\,T}{\omega^2\,(r_{1}^2 - r_{2}^2)} \ln\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}},
M = m\,N_{A}.

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