Um fio de raio
coincide com o eixo de um cilindro metálico de raio
e comprimento
. O fio é mantido a um potencial positivo
(statvolts) em relaçāo ao cilindro. Todo o sistema está a uma temperatura absoluta elevada
. Como resultado, elétrons emitidos dos metais quentes formam um gás diluído preenchendo o recipiente cilíndrico e em equilíbrio com ele. A densidade desses elétrons é tāo baixa que sua interaçāo eletrostática mútua pode ser negligenciada.
(a) Use o teorema de Gauss para obter uma expressão para o campo eletrostático que existe nos pontos a uma distância radial
do fio (
). O cilindro de comprimento
pode ser considerado muito longo, de modo que os efeitos de extremidade sejam desprezíveis.
(b) Em equilíbrio térmico, os elétrons formam um gás de densidade variável que preenche todo o espaço entre o fio e o cilindro. Usando o resultado da parte (a), encontre a dependência da densidade de carga elétrica com a distância radial
.
(a) Use o teorema de Gauss para obter uma expressão para o campo eletrostático que existe nos pontos a uma distância radial
(b) Em equilíbrio térmico, os elétrons formam um gás de densidade variável que preenche todo o espaço entre o fio e o cilindro. Usando o resultado da parte (a), encontre a dependência da densidade de carga elétrica com a distância radial
Passo 1
O enunciado descreve um fio metálico cilíndrico de raio
e potencial
em relação a um cilindro externo de raio
, com
. Entre eles existe um gás diluído de elétrons a temperatura
, de modo que podemos desprezar a interação mútua desses elétrons.
Conteúdo: capacitor cilíndrico (lei de Gauss em coordenadas cilíndricas) e distribuição estatística de Maxwell–Boltzmann para elétrons em equilíbrio térmico.
Conteúdo: capacitor cilíndrico (lei de Gauss em coordenadas cilíndricas) e distribuição estatística de Maxwell–Boltzmann para elétrons em equilíbrio térmico.
Passo 2
Aplicamos a lei de Gauss numa superfície cilíndrica de raio
e comprimento
. Em unidades gaussianas:
Aqui
é a carga linear do fio. Como
é radial e constante em módulo sobre a superfície,
Para relacionar
a
, note que
Daí
e substituindo em
(tomando em módulo):
Passo 3
Em equilíbrio térmico, a densidade de elétrons obedece à distribuição de Maxwell–Boltzmann:
onde a energia potencial de uma carga
é
. Logo
Como
e da parte 2 temos
obtemos
onde
é a densidade à borda
.
Resposta
(a)
(b)