Um fio de raio r_{0} coincide com o eixo de um cilindro metálico de raio R e comprimento L. O fio é mantido a um potencial positivo V (statvolts) em relaçāo ao cilindro. Todo o sistema está a uma temperatura absoluta elevada T. Como resultado, elétrons emitidos dos metais quentes formam um gás diluído preenchendo o recipiente cilíndrico e em equilíbrio com ele. A densidade desses elétrons é tāo baixa que sua interaçāo eletrostática mútua pode ser negligenciada.
(a) Use o teorema de Gauss para obter uma expressão para o campo eletrostático que existe nos pontos a uma distância radial r do fio ( r_{0}<r<R ). O cilindro de comprimento L pode ser considerado muito longo, de modo que os efeitos de extremidade sejam desprezíveis.
(b) Em equilíbrio térmico, os elétrons formam um gás de densidade variável que preenche todo o espaço entre o fio e o cilindro. Usando o resultado da parte (a), encontre a dependência da densidade de carga elétrica com a distância radial r.

Passo 1

O enunciado descreve um fio metálico cilíndrico de raio \,r_{0}\, e potencial V em relação a um cilindro externo de raio \,R, com r_{0}<r<R. Entre eles existe um gás diluído de elétrons a temperatura T, de modo que podemos desprezar a interação mútua desses elétrons.
Conteúdo: capacitor cilíndrico (lei de Gauss em coordenadas cilíndricas) e distribuição estatística de Maxwell–Boltzmann para elétrons em equilíbrio térmico.

Passo 2

Aplicamos a lei de Gauss numa superfície cilíndrica de raio r e comprimento L. Em unidades gaussianas:
\oint \mathbf E\cdot d\mathbf A \;=\;4\pi\,Q_{\rm int}
Aqui Q_{\rm int}=\lambda\,L é a carga linear do fio. Como \mathbf E é radial e constante em módulo sobre a superfície,
E(r)\,2\pi r\,L \;=\;4\pi\,\lambda\,L \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{2\,\lambda}{r}\,.
Para relacionar \lambda a V, note que
V=\Phi(r_{0})-\Phi(R) =-\int_{r_{0}}^{R}E(r)\,dr =-2\,\lambda\int_{r_{0}}^{R}\frac{dr}{r} =-2\,\lambda\,\ln\!\Bigl(\frac{R}{r_{0}}\Bigr).
Daí
\lambda \;=\;-\frac{V}{2\,\ln\!\bigl(R/r_{0}\bigr)},
e substituindo em E(r) (tomando em módulo):
E(r) =\frac{2|\lambda|}{r} =\frac{V}{r\,\ln\!\bigl(R/r_{0}\bigr)}.

Passo 3

Em equilíbrio térmico, a densidade de elétrons obedece à distribuição de Maxwell–Boltzmann:
n(r)=n_{0}\,\exp\!\Bigl(-\frac{U(r)}{k_{B}T}\Bigr),
onde a energia potencial de uma carga -e é U(r)=-e\,\Phi(r). Logo
n(r)=n_{0}\,\exp\!\Bigl(\frac{e\,\Phi(r)}{k_{B}T}\Bigr).
Como \rho(r)=-e\,n(r) e da parte 2 temos
\Phi(r) =-\int_{r_{0}}^{r}E(r')\,dr' =2\,\lambda\ln\!\Bigl(\frac{R}{r}\Bigr) =V\,\frac{\ln(R/r)}{\ln(R/r_{0})},
obtemos
\rho(r) =-e\,n_{0} \exp\!\Bigl[\frac{e\,V}{k_{B}T}\,\frac{\ln(R/r)}{\ln(R/r_{0})}\Bigr] =\rho_{0}\, \Bigl(\frac{R}{r}\Bigr)^{\frac{e\,V}{k_{B}T\,\ln(R/r_{0})}},
onde \rho_{0}=-e\,n_{0} é a densidade à borda r=R.

Resposta

(a)
E(r)=\frac{V}{r\,\ln\!\bigl(R/r_{0}\bigr)}, \quad r_{0}<r<R.
(b)
\rho(r) =\rho_{0}\, \Bigl(\frac{R}{r}\Bigr)^{\displaystyle\frac{e\,V}{k_{B}T\,\ln(R/r_{0})}}.

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