(2 pontos) Seja f(x)=x^{2}-2 x+8. Se possível, determine a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P(2,8).
Obs.: Calcule a derivada usando a definição f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. Se você resolver usando regras de derivação, a questão valerá apenas 1 ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}-2x+8
e pede a reta tangente à curva y=f(x) no ponto P(2,8). Vamos usar a definição de derivada
f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
para obter o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Começamos calculando f(x+\Delta x):
f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^{2}-2(x+\Delta x)+8 =x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-2x-2\Delta x+8.
Logo,
f(x+\Delta x)-f(x)=\bigl[x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-2x-2\Delta x+8\bigr]-(x^{2}-2x+8) =2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-2\Delta x.
Dividindo por \Delta x e tomando o limite:
\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =2x+\Delta x-2,
f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}(2x+\Delta x-2)=2x-2.

Passo 3

Para encontrar o coeficiente angular da reta no ponto x=2, avaliamos
f'(2)=2\cdot2-2=4-2=2.
Portanto, a inclinação da reta tangente é m=2.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto (2,8) em forma ponto-inclinação é
y-8=2\,(x-2).
Simplificando,
y-8=2x-4 \quad\Longrightarrow\quad y=2x+4.

Resposta

A reta tangente é
y=2x+4.

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