Determine a solução da equação:
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0 \quad\left\{y(1)=0 \quad y^{\prime}(1)=3\right\}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^{2}y''-3x\,y'+4y=0
sujeita às condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=3. Esse tipo de equação tem solução pela substituição y=x^{m}, gerando uma equação algébrica para m.

Passo 2

Assumimos y=x^{m}. Então
y' = m\,x^{m-1}, \quad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação original:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]-3x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr]+4\,x^{m}=0
ou seja
m(m-1)x^{m}-3m\,x^{m}+4x^{m}=0 \;\Longrightarrow\; \bigl[m(m-1)-3m+4\bigr]x^{m}=0.
Como x^{m}\neq0, o característico é
m(m-1)-3m+4=0 \;\Longrightarrow\; m^{2}-4m+4=0 \;\Longrightarrow\; (m-2)^{2}=0.

Passo 3

Temos raiz dupla m=2. Para equação de Euler com raiz dupla em m, a solução geral é
y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{2}\ln x.

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) =2C_{1}x + C_{2}\bigl(2x\ln x + x\bigr) =2C_{1}x + C_{2}x\bigl(2\ln x +1\bigr).
Em x=1:
\ln1=0, então
y(1)=C_{1}\cdot1^{2}+C_{2}\cdot1^{2}\cdot0 = C_{1}=0,
y'(1)=2C_{1}\cdot1 + C_{2}\cdot1\cdot(2\cdot0+1)=C_{2}=3.
Portanto C_{1}=0 e C_{2}=3.

Resposta

y(x)=3\,x^{2}\ln x

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