Considere a função
e faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Determine o domínio de
e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
, caso existam.
e) Esboce o gráfico de
.
a) Determine o domínio de
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
e) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) domínio e interseções com os eixos;
b) monotonicidade e extremos locais;
c) concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas;
e) esboço do gráfico.
a) domínio e interseções com os eixos;
b) monotonicidade e extremos locais;
c) concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas;
e) esboço do gráfico.
Passo 2
O domínio de
é todos os
tais que o denominador não anula, ou seja,
Para as interseções com os eixos:
– Eixo : toma-se
, obtém-se
– Eixo
logo o ponto
.
– Eixo : impõe-se
, isto é
, que não tem solução real. Portanto não há interseções com o eixo
.
– Eixo
Passo 3
Calculamos a derivada por quociente. Seja
O numerador anula-se em
Como
para todo
, o sinal de
é o sinal de
, que é
positivo em e em
, e negativo em
, com quebra de domínio em
.
Logo é crescente em
e em
, e decrescente em
e em
.
Há, portanto, um máximo local em e um mínimo local em
.
Os valores são
positivo em
Logo
Há, portanto, um máximo local em
Os valores são
Passo 4
Para a concavidade, derivamos
ou usamos a fórmula direta, obtendo
Como o sinal de
é o sinal de
, segue-se que
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
Não há ponto de inflexão porque o único zero de é
, que não pertence ao domínio.
Não há ponto de inflexão porque o único zero de
Passo 5
– Assíntota vertical em
.
– Como o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1), há assíntota oblíqua obtida pela divisão polinomial:
– Como o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1), há assíntota oblíqua obtida pela divisão polinomial:
Logo a assíntota é
Passo 6
Esboço qualitativo de
:
– Domínio dividido em dois ramos por .
– Para ,
; para
,
.
– Ramo à esquerda: cresce até o máximo , depois decresce até
em
, aproximando-se da reta
quando
.
– Ramo à direita: parte de em
, decresce até o mínimo
, depois cresce indefinidamente aproximando-se de
quando
.
– Ponto marcando o intercepto em
.
– Domínio dividido em dois ramos por
– Para
– Ramo à esquerda: cresce até o máximo
– Ramo à direita: parte de
– Ponto
Resposta
a)
. Interseção com eixo
:
. Nenhuma interseção com eixo
.
b) Crescente em e
; decrescente em
e
. Máximo local em
com
. Mínimo local em
com
.
c) Côncava para baixo em e para cima em
. Nenhum ponto de inflexão.
d) Assíntota vertical . Assíntota oblíqua
.
e) Gráfico conforme descrito no passo anterior.
b) Crescente em
c) Côncava para baixo em
d) Assíntota vertical
e) Gráfico conforme descrito no passo anterior.