Considere a função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}
e faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Determine o domínio de f e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de f, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de f, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de f, caso existam.
e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}
e pede:
a) domínio e interseções com os eixos;
b) monotonicidade e extremos locais;
c) concavidade e pontos de inflexão;
d) assíntotas;
e) esboço do gráfico.

Passo 2

O domínio de f é todos os x tais que o denominador não anula, ou seja,
\Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}.
Para as interseções com os eixos:
– Eixo y: toma-se x=0, obtém-se
f(0)=\frac{0^{2}+1}{0+1}=1,
logo o ponto (0,1).
– Eixo x: impõe-se f(x)=0, isto é x^{2}+1=0, que não tem solução real. Portanto não há interseções com o eixo x.

Passo 3

Calculamos a derivada por quociente. Seja
f'(x) =\frac{(2x)(x+1)-(x^{2}+1)\cdot1}{(x+1)^{2}} =\frac{x^{2}+2x-1}{(x+1)^{2}}.
O numerador anula-se em
x^{2}+2x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{2}.
Como (x+1)^{2}>0 para todo x\neq -1, o sinal de f' é o sinal de x^{2}+2x-1, que é
positivo em x<-1-\sqrt{2} e em x>-1+\sqrt{2}, e negativo em -1-\sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2}, com quebra de domínio em x=-1.
Logo f é crescente em (-\infty,-1-\sqrt{2}) e em (-1+\sqrt{2},\infty), e decrescente em (-1-\sqrt{2},-1) e em (-1,-1+\sqrt{2}).
Há, portanto, um máximo local em x=-1-\sqrt{2} e um mínimo local em x=-1+\sqrt{2}.
Os valores são
f(-1-\sqrt{2}) =\frac{(-1-\sqrt{2})^{2}+1}{(-1-\sqrt{2})+1} =-2-2\sqrt{2},
f(-1+\sqrt{2}) =\frac{(-1+\sqrt{2})^{2}+1}{(-1+\sqrt{2})+1} =-2+2\sqrt{2}.

Passo 4

Para a concavidade, derivamos f' ou usamos a fórmula direta, obtendo
f''(x)=\frac{4}{(x+1)^{3}}.
Como o sinal de f'' é o sinal de (x+1)^{3}, segue-se que f é côncava para baixo em (-\infty,-1) e côncava para cima em (-1,\infty).
Não há ponto de inflexão porque o único zero de f'' é x=-1, que não pertence ao domínio.

Passo 5

– Assíntota vertical em x=-1.
– Como o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1), há assíntota oblíqua obtida pela divisão polinomial:
\frac{x^{2}+1}{x+1} =x-1+\frac{2}{x+1}.
Logo a assíntota é
y=x-1.

Passo 6

Esboço qualitativo de f:
– Domínio dividido em dois ramos por x=-1.
– Para x\to-1^{-}, f(x)\to -\infty; para x\to-1^{+}, f(x)\to +\infty.
– Ramo à esquerda: cresce até o máximo \bigl(-1-\sqrt{2},-2-2\sqrt{2}\bigr), depois decresce até -\infty em x\to-1^{-}, aproximando-se da reta y=x-1 quando x\to-\infty.
– Ramo à direita: parte de +\infty em x\to-1^{+}, decresce até o mínimo \bigl(-1+\sqrt{2},-2+2\sqrt{2}\bigr), depois cresce indefinidamente aproximando-se de y=x-1 quando x\to+\infty.
– Ponto (0,1) marcando o intercepto em y.

Resposta

a) \Dom(f)=\{x\neq -1\}. Interseção com eixo y: (0,1). Nenhuma interseção com eixo x.
b) Crescente em (-\infty,-1-\sqrt{2}) e (-1+\sqrt{2},\infty); decrescente em (-1-\sqrt{2},-1) e (-1,-1+\sqrt{2}). Máximo local em x=-1-\sqrt{2} com f=-2-2\sqrt{2}. Mínimo local em x=-1+\sqrt{2} com f=-2+2\sqrt{2}.
c) Côncava para baixo em (-\infty,-1) e para cima em (-1,\infty). Nenhum ponto de inflexão.
d) Assíntota vertical x=-1. Assíntota oblíqua y=x-1.
e) Gráfico conforme descrito no passo anterior.

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