Considere a função
e faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Determine o domínio de
e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
, caso existam.
e) Esboce o gráfico de
.
a) Determine o domínio de
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
e) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
isto é, domínio, interceptos, monotonicidade e extremos, concavidade e pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar desigualdades para o domínio, derivadas para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas.
Passo 2
Para o domínio resolvemos
Fatorando,
, logo
Esse é o domínio:
.
Intercepto em : em
temos
Intercepto em
Interceptos em
: resolvemos
, ou seja
cuja solução é
Ambas caem em
ou
, então são válidas como interceptos.
Passo 3
Derivamos
No domínio o denominador é sempre positivo, então o sinal de
vem de
.
Para temos
, logo
.
Para temos
, logo
.
Não há pontos onde dentro do domínio, pois
fica em
, região excluída.
Conclusão: é decrescente em
e crescente em
. Não há extremos locais.
Para
Para
Não há pontos onde
Conclusão:
Passo 4
Calculamos a segunda derivada via quociente: se
e
, então
Note que
para todo
, então
em todo o domínio.
Conclusão: é sempre côncava para baixo e não há pontos de inflexão.
Conclusão:
Passo 5
Assíntotas verticais surgem onde o argumento do
se anula, isto é
e
. De fato
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Em
a função decresce de (quando ) até (quando ). - Em
a função cresce de (quando ) até (quando ). - Passa por
, por e . - É sempre côncava para baixo.
Resposta
(a) Domínio:
. Interseções:
no eixo
, e
no eixo
.
(b) Decrescente em , crescente em
; sem extremos locais.
(c) Côncava para baixo em todo o domínio; sem ponto(s) de inflexão.
(d) Assíntotas verticais: e
; sem assíntotas horizontais nem oblíquas.
(e) Gráfico conforme esboço descrito no Passo .
(b) Decrescente em
(c) Côncava para baixo em todo o domínio; sem ponto(s) de inflexão.
(d) Assíntotas verticais:
(e) Gráfico conforme esboço descrito no Passo