Considere a função
f(x)=\ln \left(x^{2}-3 x+2\right)
e faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Determine o domínio de f e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de f, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de f, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de f, caso existam.
e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x) = \ln\bigl(x^{2} - 3x + 2\bigr),
isto é, domínio, interceptos, monotonicidade e extremos, concavidade e pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar desigualdades para o domínio, derivadas para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas.

Passo 2

Para o domínio resolvemos
x^{2}-3x+2>0.
Fatorando, (x-1)(x-2)>0, logo
x<1\quad\text{ou}\quad x>2.
Esse é o domínio: (-\infty,1)\cup(2,\infty).
Intercepto em y: em x=0 temos
f(0)=\ln(2).
Interceptos em x: resolvemos f(x)=0, ou seja
x^{2}-3x+2=1\;\Longrightarrow\;x^{2}-3x+1=0,
cuja solução é
x=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}.
Ambas caem em x<1 ou x>2, então são válidas como interceptos.

Passo 3

Derivamos
f'(x)=\frac{2x-3}{\,x^{2}-3x+2\,}.
No domínio o denominador é sempre positivo, então o sinal de f'(x) vem de 2x-3.
Para x<1 temos 2x-3<0, logo f'<0.
Para x>2 temos 2x-3>0, logo f'>0.
Não há pontos onde f'(x)=0 dentro do domínio, pois x=\tfrac32 fica em (1,2), região excluída.
Conclusão: f é decrescente em (-\infty,1) e crescente em (2,\infty). Não há extremos locais.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada via quociente: se u=2x-3 e v=x^{2}-3x+2, então
f''(x) =\frac{u'v - u\,v'}{v^{2}} =\frac{2(x^{2}-3x+2)-(2x-3)^{2}}{(x^{2}-3x+2)^{2}} =\frac{-\bigl(2x^{2}-6x+5\bigr)}{(x^{2}-3x+2)^{2}}.
Note que 2x^{2}-6x+5>0 para todo x, então f''(x)<0 em todo o domínio.
Conclusão: f é sempre côncava para baixo e não há pontos de inflexão.

Passo 5

Assíntotas verticais surgem onde o argumento do \ln se anula, isto é x=1 e x=2. De fato
\lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = -\infty.
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois
f(x)\sim2\ln|x|\to+\infty\quad(x\to\pm\infty).

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Em (-\infty,1) a função decresce de +\infty (quando x\to-\infty) até -\infty (quando x\to1^-).
  • Em (2,\infty) a função cresce de -\infty (quando x\to2^+) até +\infty (quando x\to+\infty).
  • Passa por (0,\ln 2), por \bigl(\tfrac{3-\sqrt{5}}{2},0\bigr) e \bigl(\tfrac{3+\sqrt{5}}{2},0\bigr).
  • É sempre côncava para baixo.

Resposta

(a) Domínio: (-\infty,1)\cup(2,\infty). Interseções:
(0,\ln2) no eixo y, e \bigl(\tfrac{3\pm\sqrt5}2,0\bigr) no eixo x.
(b) Decrescente em (-\infty,1), crescente em (2,\infty); sem extremos locais.
(c) Côncava para baixo em todo o domínio; sem ponto(s) de inflexão.
(d) Assíntotas verticais: x=1 e x=2; sem assíntotas horizontais nem oblíquas.
(e) Gráfico conforme esboço descrito no Passo 6.

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