Calcule o valor da integral abaixo, sendo
a região do plano limitada entre a parábola
a reta
:
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que calcular a integral dupla
onde
é a região do plano limitada pela parábola
e pela reta
.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas. Pra resolver vamos precisar de três coisas:
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas. Pra resolver vamos precisar de três coisas:
- descobrir onde as duas curvas se cruzam (pra achar os limites em
), - montar a integral iterada (primeiro em
, depois em ), - executar a integração passo a passo sem pular etapas.
Passo 2
Primeiro a gente acha os pontos de interseção resolvendo
Logo
ou
. Esses serão os nossos limites para
. Para cada
entre
e
,
vai de
até
.
Passo 3
Agora montamos a integral iterada em forma de “fatia”
Aqui cada valor de
“carrega” uma fatia vertical de
até
.
Passo 4
A integral interna em
é
Isso vem da regra de potência:
-
(pois é constante quando integramos em ) -
.
Passo 5
Agora a gente substitui os limites em
e simplifica. Dá uma expressão só em função de
:
- Em
: - Em
:
Fazendo (1) – (2) e juntando termos, chega-se a
Passo 6
Agora é só integrar isso em
de
até
. A antiderivada é
Avaliando em
e em
e fazendo
dá