Calcule o valor da integral abaixo, sendo D a região do plano limitada entre a parábola y=x^2-1 e a reta y=x+1 :
integral duplaD x^2-y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que calcular a integral dupla
integral duplaDl(x^2 - y^2r),dx,dy
onde D é a região do plano limitada pela parábola y = x^2 - 1 e pela reta y = x + 1.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas. Pra resolver vamos precisar de três coisas:
  1. descobrir onde as duas curvas se cruzam (pra achar os limites em x),
  2. montar a integral iterada (primeiro em y, depois em x),
  3. executar a integração passo a passo sem pular etapas.

Passo 2

Primeiro a gente acha os pontos de interseção resolvendo
x^2 - 1 = x + 1 Longrightarrow x^2 - x - 2 = 0 Longrightarrow (x-2)(x+1)=0
Logo x = -1 ou x = 2. Esses serão os nossos limites para x. Para cada x entre -1 e 2, y vai de ymin=x^2-1 até ymax=x+1.

Passo 3

Agora montamos a integral iterada em forma de “fatia”
integral duplaD(x^2 - y^2),dx,dy ;=; integralx=-1^2!!l[integraly=x^2-1^,x+1!(x^2 - y^2),dyr],dx
Aqui cada valor de xin[-1,2] “carrega” uma fatia vertical de y=x^2-1 até y=x+1.

Passo 4

A integral interna em y é
integralx^2-1^,x+1(x^2 - y^2),dy = l[x^2,y ;-;tfracy^33r]y=x^2-1^,y=x+1
Isso vem da regra de potência:
  • integral x^2,dy = x^2,y (pois x é constante quando integramos em y)
  • integral y^2,dy = y^3/3.

Passo 5

Agora a gente substitui os limites em y e simplifica. Dá uma expressão só em função de x:
  1. Em y = x+1: x^2(x+1) - tfrac(x+1)^33
  2. Em y = x^2-1: x^2(x^2-1) - tfrac(x^2-1)^33
    Fazendo (1) – (2) e juntando termos, chega-se a
integraly=x^2-1^,x+1(x^2 - y^2),dy = x^63 ;-;2x^4 ;+;23x^3 ;+;2x^2 ;-;x ;-;tfrac23

Passo 6

Agora é só integrar isso em x de -1 até 2. A antiderivada é
F(x) =x^721-2x^55+x^46+2x^33-x^22-2x3
Avaliando em x=2 e em x=-1 e fazendo F(2)-F(-1)
- tfrac7235

Resposta

-tfrac7235

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