Determine a área da região limitada pela curva y=x^2-4 x, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3. (Dica: observe onde a y >= 0 e onde y <= 0, caso seja necessário.)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y=x^2-4x, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3. O conteúdo aqui é cálculo de área por integração de uma função que fica abaixo do eixo x, então vamos precisar analisar o sinal de y no intervalo e, se necessário, usar o valor absoluto para montar a integral correta.

Passo 2

Determinar as raízes de y=x^2-4x:
x(x-4)=0
logo as raízes são x=0 e x=4. Entre essas raízes, isto é, em 0<x<4, temos y<=0. Em particular, no nosso intervalo de interesse 1<= x<=3, vale y<=0.

Passo 3

Como y<=0 em [1,3], a área é dada por
A=integral1^3l|yr|,dx =,-integral1^3(x^2-4x),dx

Passo 4

Calcular uma primitiva de x^2-4x:
F(x)=integral(x^2-4x),dx =x^33-2x^2

Passo 5

Avaliar o integral definido:
integral1^3(x^2-4x),dx =F(3)-F(1) =l(273-2cdot9r) -l(13-2r) =-9-l(-tfrac53r) =-tfrac223
Portanto
A=-l(-tfrac223r) =tfrac223

Resposta

223

Exercícios relacionados