Um pingente é feito de material não homogêneo e sua representação no plano polar pode ser dada pelo conjunto (theta, rho) ; 0 <= theta <= 2 pi, rho <= cos (6 theta), sendo rho medido em centímetros. Considere que a densidade do pingente em cada ponto é dada por de<a(rho, theta)=(rho^2+2) g / cm^2. Determine a massa total, em gramas, do pingente.

Passo 1

O pingente ocupa no plano polar o conjunto
D=(theta,rho)mid 0<=theta<=2pi,;0<=rho<=cos(6theta)
onde efetivamente só há região quando cos(6theta)>=0. A densidade é
de<a(rho,theta)=rho^2+2( g/cm^2)
Para achar a massa total usamos coordenadas polares e a fórmula
m=integral duplaDde<a(rho,theta), dA =integral0^2piintegral0^max(cos6theta,0)l(rho^2+2r),rho, drho, dtheta

Passo 2

Calculamos primeiro a integral interna em rho:
integral0^max(cos6theta,0)(rho^2+2),rho, drho =integral0^R(rho^3+2rho), drho,
onde R=maxl(cos6theta,0r). Fazendo a integral,
integral0^Rrho^3, drho=R^44, integral0^R2rho, drho=R^2,
logo o resultado interno é
R^44+R^2

Passo 3

Como R=0 sempre que cos6theta<0, podemos escrever a massa como
m=integral0^2pi l[tfrac14l(max(cos6theta,0)r)^4 +l(max(cos6theta,0)r)^2r] , dtheta
Observamos que cos6theta tem período pi/3 e é não negativa em metade de cada período, gerando 6 “pétalas” idênticas. Assim basta integrar num intervalo de uma pétala e multiplicar por 6.

Passo 4

Escolhemos a pétala em que cos6theta>=0 para -pi/12<=theta<=pi/12. Fazemos a mudança de variável
phi=6theta, dtheta= dphi6,
e R=cosphi varia de phi=-pi/2 a pi/2. A contribuição de uma pétala é
integral-pi/12^pi/12l(tfrac14cos^4(6theta)+cos^2(6theta)r) dtheta =integral-pi/2^pi/2l(tfrac14cos^4phi+cos^2phir) dphi6
Multiplicando por 6 pétalas,
m =integral-pi/2^pi/2l(tfrac14cos^4phi+cos^2phir) dphi

Passo 5

Usamos as fórmulas
integral-pi/2^pi/2cos^2phi, dphi =pi2, integral-pi/2^pi/2cos^4phi, dphi =3pi8
Portanto
m =14cdot3pi8+pi2 =3pi32+16pi32 =19pi32

Resposta

19pi32 gramas.

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