Um pingente é feito de material não homogêneo e sua representação no plano polar pode ser dada pelo conjunto
, sendo
medido em centímetros. Considere que a densidade do pingente em cada ponto é dada por
. Determine a massa total, em gramas, do pingente.
Passo 1
O pingente ocupa no plano polar o conjunto
onde efetivamente só há região quando
. A densidade é
Para achar a massa total usamos coordenadas polares e a fórmula
Passo 2
Calculamos primeiro a integral interna em
:
onde
. Fazendo a integral,
logo o resultado interno é
Passo 3
Como
sempre que
, podemos escrever a massa como
Observamos que
tem período
e é não negativa em metade de cada período, gerando 6 “pétalas” idênticas. Assim basta integrar num intervalo de uma pétala e multiplicar por 6.
Passo 4
Escolhemos a pétala em que
para
. Fazemos a mudança de variável
e
varia de
a
. A contribuição de uma pétala é
Multiplicando por 6 pétalas,
Passo 5
Usamos as fórmulas
Portanto