Um celular custa RS 2.400,00 à vista, mas pode ser parcelado em 12 vezes com juros compostos de 2 \% ao mês. Qual será o valor total pago ao final das 12 parcelas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Preço à vista: 2400.
  • Parcelamento: 12 parcelas mensais.
  • Juros compostos: 2\% ao mês.
  • Pergunta: qual será o valor total pago ao final das 12 parcelas?

Passo 2

Primeiro preciso explicar a ideia que usamos para parcelas iguais com juros compostos (é o que normalmente se entende por “parcelado com juros”): você paga uma prestação fixa A todo mês durante n meses. O valor presente P (o preço que seria pago à vista) é a soma dessas prestações descontadas pelos juros ao longo do tempo. Isso dá a soma de uma progressão geométrica descontada.
Escrevendo isso matematicamente: cada prestação A paga no final do mês k vale hoje (valor presente) \dfrac{A}{(1+i)^k}, onde
  • A é a prestação mensal (o que queremos achar primeiro),
  • i é a taxa de juros por período (no nosso caso i=0,02),
  • k vai de 1 até n, e
  • P é o valor presente (no nosso caso P=2400).
Somando as n prestações descontadas obtemos:
P=\frac{A}{(1+i)}+\frac{A}{(1+i)^2}+\cdots+\frac{A}{(1+i)^n}.
Essa soma é uma série geométrica. A fórmula da soma dá
P=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Agora isolamos A para saber quanto é a prestação mensal:
A = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Explicando cada símbolo de novo:
  • P = valor presente que queremos financiar ( 2400).
  • i = taxa por período ( 0,02 que é 2\%).
  • n = número de parcelas ( 12).
  • A = pagamento periódico (mensal).
Depois de achar A, o total pago ao final será simplesmente n\cdot A.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com P=2400, i=0,02 e n=12:
A = 2400\cdot\frac{0,02}{1-(1+0,02)^{-12}}.

Passo 4

Calculamos primeiro (1+i)^{12}=(1,02)^{12}. Fazendo a potência (mostro os passos de multiplicação sucessiva para ficar claro):
\begin{aligned} (1,02)^2 &= 1,0404,\\\ (1,02)^3 &= 1,061208,\\\ (1,02)^4 &= 1,08243216,\\\ (1,02)^5 &= 1,1040808032,\\\ (1,02)^6 &= 1,126162419264,\\\ (1,02)^7 &= 1,14868566764928,\\\ (1,02)^8 &= 1,1716593810022656,\\\ (1,02)^9 &= 1,195092568622311,\\\ (1,02)^{10} &= 1,2189944199947573,\\\ (1,02)^{11} &= 1,2433743083946524,\\\ (1,02)^{12} &= 1,2682417945625455. \end{aligned}
Portanto (1,02)^{12}\approx 1,2682417945625455.

Passo 5

Precisamos de (1+0,02)^{-12}=\dfrac{1}{(1,02)^{12}}. Fazendo a divisão (ou usando método numérico), obtemos
(1,02)^{-12}\approx 0,788493178.
Logo o denominador da fórmula fica
1-(1,02)^{-12}\approx 1-0,788493178 = 0,211506822.

Passo 6

Agora calculamos a prestação A:
A = 2400\cdot\frac{0,02}{0,211506822} = \frac{48}{0,211506822}\approx 226,9390555.
Arredondando a prestação para centavos: a prestação mensal é aproximadamente 226,94.

Passo 7

O total pago ao final das 12 parcelas é
\text{Total} = 12\cdot A \approx 12\cdot 226,9390555 \approx 2723,268666.
Arredondando para centavos, o total pago é 2723,27.

Resposta

\text{R\$ }2.723,27

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