Uma dívida de RS 5.000,00 foi contraída a uma taxa de 5 \% ao mês (juros compostos). Se não for paga, qual será o valor devido após 6 meses?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está indicado:
  • Valor inicial (principal): P = R\$\,5.000,00.
  • Taxa de juros: 5\% ao mês.
  • Tempo: 6 meses.
    O que se pede: encontrar o valor devido (montante) se a dívida não for paga após 6 meses.

Passo 2

Fórmula que usamos (juros compostos): S = P(1+i)^n
Expliquei a fórmula:
  • S é o montante (valor devido) após n períodos.
  • P é o principal (valor inicial emprestado).
  • i é a taxa de juros por período, em forma decimal (por exemplo, 5\% vira 0,05).
  • n é o número de períodos (aqui, meses).
    Essa fórmula significa que a cada período o capital é multiplicado por (1+i), e isso se repete n vezes, por isso o expoente n.

Passo 3

Convertemos a taxa percentual para decimal e substituímos na fórmula:
  • i = 5\% = 0,05.
  • n = 6.
Substituindo: S = R\$\,5.000,00\,(1+0,05)^6 = R\$\,5.000,00\,(1,05)^6.

Passo 4

Vamos calcular (1,05)^6 passo a passo (multiplicando sucessivamente) para que você possa fazer sem calculadora em prova, ou pelo menos entender o processo:
1,05^2 = 1,05 \times 1,05 = 1,1025
1,05^3 = 1,1025 \times 1,05 = 1,157625
1,05^4 = 1,157625 \times 1,05 = 1,21550625
1,05^5 = 1,21550625 \times 1,05 = 1,2762815625
1,05^6 = 1,2762815625 \times 1,05 = 1,340095640625
Esses valores são os resultados das multiplicações sucessivas; em prova você pode arredondar intermediários com cuidado, mas aqui mantenho precisão para acertar os centavos.

Passo 5

Agora multiplicamos pelo principal:
S = R\$\,5.000,00 \times 1,340095640625 = R\$\,6.700,478203125.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), olhamos o terceiro decimal (que é 8), então arredondamos o centavo:
S \approx R\$\,6.700,48.
Interpretação rápida: uma dívida de R\$\,5.000,00 a 5\% ao mês cresce para cerca de R\$\,6.700,48 em 6 meses por causa da capitalização composta (juros sobre juros).

Resposta

R$,6.700,48

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