Um móvel em linha reta possui aceleração dada por a(t)=4 t+2\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right).
No instante inicial, v(0)=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e s(0)=0.
a) Determine v(t).
b) Determine s(t).
c) Calcule s(2).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados:
a(t)=4t+2\quad\text{(em \(\mathrm{m/s^{2}}\))}
v(0)=1\quad\text{(em \(\mathrm{m/s}\))}
s(0)=0\quad\text{(em \(\mathrm{m}\))}
Perguntas:
  1. Determine v(t).
  2. Determine s(t).
  3. Calcule s(2).

Passo 2

Relações fundamentais entre as grandezas (explicação didática): aceleração, velocidade e posição estão ligadas por derivadas e integrais. Especificamente:
a(t)=\frac{dv}{dt},
ou seja, a aceleração é a derivada da velocidade. Para obter a velocidade a partir da aceleração fazemos a operação inversa: integramos. De forma análoga,
v(t)=\frac{ds}{dt},
e para obter a posição a partir da velocidade também integramos. Lembrete prático de integração que vamos usar: para uma potência t^{n},
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração a ser determinada com as condições iniciais.

Passo 3

Integramos a(t) para obter v(t). Calcule a antiderivada de cada termo:
\int(4t+2)\,dt=4\int t\,dt+2\int 1\,dt.
Usando a fórmula para potências:
4\int t\,dt=4\cdot\frac{t^{2}}{2}=2t^{2}
e
2\int 1\,dt=2t.
Somando e acrescentando a constante de integração C obtemos
v(t)=2t^{2}+2t+C.

Passo 4

Determinar C usando a condição inicial v(0)=1. Substituindo t=0 em v(t):
v(0)=2\cdot0^{2}+2\cdot0+C=C.
Como v(0)=1 segue que C=1. Portanto
v(t)=2t^{2}+2t+1\quad\text{(em \(\mathrm{m/s}\))}.

Passo 5

Agora integramos v(t) para obter s(t). Começamos com
v(t)=2t^{2}+2t+1.
Calcule a antiderivada termo a termo:
\int 2t^{2}\,dt=2\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{2}{3}t^{3},
\int 2t\,dt=2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2},
\int 1\,dt=t.
Somando e incluindo a constante de integração C_{2} obtemos
s(t)=\frac{2}{3}t^{3}+t^{2}+t+C_{2}.

Passo 6

Determinar C_{2} usando s(0)=0. Substituindo t=0:
s(0)=\frac{2}{3}\cdot0^{3}+0^{2}+0+C_{2}=C_{2}.
Como s(0)=0 segue C_{2}=0. Portanto
s(t)=\frac{2}{3}t^{3}+t^{2}+t\quad\text{(em \(\mathrm{m}\))}.

Passo 7

Calcular s(2) substituindo t=2 em s(t):
s(2)=\frac{2}{3}\cdot 2^{3}+2^{2}+2.
Calcule passo a passo:
2^{3}=8,
\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3},
2^{2}=4,
\frac{16}{3}+4+2=\frac{16}{3}+6=\frac{16+18}{3}=\frac{34}{3}.
Em unidades:
s(2)=\frac{34}{3}\\ \mathrm{m}\approx 11{,}333\\ \mathrm{m}.

Resposta

v(t)=2t^{2}+2t+1\\ \mathrm{(m/s)}
s(t)=\dfrac{2}{3}t^{3}+t^{2}+t\\ \mathrm{(m)}
s(2)=\dfrac{34}{3}\\ \mathrm{m}

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