Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superficie dada, nos pontos indicados:
x^2+y^2+z^2=4 ; P(1,1, raiz2)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta normal à superfície implícita
x^2+y^2+z^2=4
no ponto P(1,1,raiz2).
Conteúdo: retas normais a superfícies definidas implicitamente, usando o gradiente.

Passo 2

Seja
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4
A reta normal à superfície F(x,y,z)=0 em um ponto (x0,y0,z0) tem direção dada pelo vetor gradiente
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Fpartial x=2x, partial Fpartial y=2y, partial Fpartial z=2z
Logo
nabla F(x,y,z)=(2x,2y,2z)
Em P(1,1,raiz2) fica
nabla F(P)=(2cdot1,;2cdot1,;2cdotraiz2)=(2,2,2raiz2)

Passo 4

A equação vetorial da reta que passa por P e tem direção nabla F(P) é
r(t)=l(1,,1,,raiz2r)+t,(2,,2,,2raiz2),
onde tinR.
Em coordenadas paramétricas:
x=1+2t, y=1+2t, z=raiz2+2raiz2,t

Resposta

boxed r(t)=(1,1,raiz2)+t,(2,2,2raiz2), tinR

Exercícios relacionados