Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral (ou mostre que ela diverge)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação importante contida no enunciado (implícita): a função
não está definida em
, então a integral é imprópria e precisa ser tratada como limite ao aproximar-se de
. Não há mais informações a pedir — vamos analisar e calcular.
Passo 2
Entendendo a função: para todo
temos
pois
e a raiz cúbica de um número não negativo é não negativa. Logo a integranda pode ser escrita como
Isso mostra duas coisas úteis: a função é positiva onde está definida e é uma função par (mesma para
e
). Essa paridade vai nos permitir simplificar a integral como o dobro da integral em
, desde que a integral em
exista (converja).
Passo 3
Definição de integral imprópria aqui: como há singularidade em
, escrevemos
Por paridade da integranda, se as duas integrais laterais convergirem então elas têm o mesmo valor, e assim
onde agora a integral em
deve ser entendida como imprópria:
.
Passo 4
Teste de integrabilidade perto de
(teste
): para integrais do tipo
sabemos que, para
,
Esse limite na fronteira
é finito se e somente se
, isto é, se
. No nosso caso temos
, que satisfaz
. Portanto a integral
converge. Isso garante que a integral original também converge (já que os dois lados têm o mesmo comportamento e finitude).
Passo 5
Agora calculamos a integral em
. Para
podemos usar a regra de potência:
se então
.
Aqui , então
se
Aqui
Portanto, calculando o valor da integral imprópria,
Passo 6
Usando a paridade (Passo 2) e o resultado do Passo 5, obtemos
Se você quiser, dá para verificar a integral do lado esquerdo separando explicitamente com a substituição
para a porção negativa e confirmando que cada lado vale
; o raciocínio é o mesmo.
Passo 7
Conclusão final e moralzinha rápida: embora a função exploda em
, ela explode de forma “suave” o suficiente (
com expoente
) para que a área total seja finita. Isso é o conteúdo prático do teste
para integrais do tipo
.