Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2 / 3}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral (ou mostre que ela diverge)
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2/3}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a integranda é }\frac{1}{x^{2/3}}\text{ e o intervalo é }[-1,1].éé
Observação importante contida no enunciado (implícita): a função \frac{1}{x^{2/3}} não está definida em x=0, então a integral é imprópria e precisa ser tratada como limite ao aproximar-se de 0. Não há mais informações a pedir — vamos analisar e calcular.

Passo 2

Entendendo a função: para todo x\in\mathbb{R} temos
x^{2/3}=(x^2)^{1/3}=|x|^{2/3},
pois x^2\ge0 e a raiz cúbica de um número não negativo é não negativa. Logo a integranda pode ser escrita como
\frac{1}{x^{2/3}}=\frac{1}{|x|^{2/3}}.
Isso mostra duas coisas úteis: a função é positiva onde está definida e é uma função par (mesma para x e -x). Essa paridade vai nos permitir simplificar a integral como o dobro da integral em [0,1], desde que a integral em [0,1] exista (converja).

Passo 3

Definição de integral imprópria aqui: como há singularidade em 0, escrevemos
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2/3}}=\lim_{a\to0^-}\int_{-1}^{a}\frac{dx}{x^{2/3}}+\lim_{b\to0^+}\int_{b}^{1}\frac{dx}{x^{2/3}}.
Por paridade da integranda, se as duas integrais laterais convergirem então elas têm o mesmo valor, e assim
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2/3}}=2\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2/3}},
onde agora a integral em [0,1] deve ser entendida como imprópria: \int_{0}^{1}=\lim_{b\to0^+}\int_{b}^{1}.

Passo 4

Teste de integrabilidade perto de 0 (teste p): para integrais do tipo
\int_{0}^{1} x^{-p}\,dx
sabemos que, para p\neq1,
\int_{0}^{1} x^{-p}\,dx=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{0}^{1}.
Esse limite na fronteira 0 é finito se e somente se 1-p>0, isto é, se p<1. No nosso caso temos p=\tfrac{2}{3}, que satisfaz p<1. Portanto a integral \int_{0}^{1} x^{-2/3}\,dx converge. Isso garante que a integral original também converge (já que os dois lados têm o mesmo comportamento e finitude).

Passo 5

Agora calculamos a integral em [0,1]. Para x>0 podemos usar a regra de potência:
se \alpha\neq -1 então \int x^{\alpha}\,dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
Aqui \alpha=-\tfrac{2}{3}, então
\int x^{-2/3}\,dx=\frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1}=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}.
Portanto, calculando o valor da integral imprópria,
\int_{0}^{1} x^{-2/3}\,dx=\lim_{b\to0^+}\left[3x^{1/3}\right]_{b}^{1} =\lim_{b\to0^+}\big(3\cdot 1^{1/3}-3b^{1/3}\big)=3-0=3.

Passo 6

Usando a paridade (Passo 2) e o resultado do Passo 5, obtemos
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2/3}}=2\int_{0}^{1}x^{-2/3}\,dx=2\cdot 3=6.
Se você quiser, dá para verificar a integral do lado esquerdo separando explicitamente com a substituição x=-t para a porção negativa e confirmando que cada lado vale 3; o raciocínio é o mesmo.

Passo 7

Conclusão final e moralzinha rápida: embora a função exploda em 0, ela explode de forma “suave” o suficiente ( x^{-2/3} com expoente 2/3<1) para que a área total seja finita. Isso é o conteúdo prático do teste p para integrais do tipo \int_0 x^{-p}\,dx.

Resposta

6

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