A velocidade de uma partícula é dada por v=d s / d t e sua aceleração é a=d v / d t. Encontre as integrais da velocidade e da distância. Sabendo que um objeto inicialmente parado, cai de uma altura de 50 m com aceleração constante de -10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} por 3 segundos, qual é a distância percorrida nessa queda? Qual é a altura final?

Passo 1

O enunciado dá as definições e pede coisas concretas. Escrevo aqui, em linguagem bem direta, o que foi dado e o que preciso encontrar:
  • Foi dado que a velocidade é \displaystyle v=\frac{d s}{d t}.
  • Foi dado que a aceleração é \displaystyle a=\frac{d v}{d t}.
  • Perguntas: (1) encontrar as integrais (anti-derivadas) que ligam a, v e s; (2) sabendo que um objeto inicialmente parado cai a partir de altura 50\\ \mathrm{m} com aceleração constante de -10\\ \mathrm{m/s^{2}} durante 3\\ \mathrm{s}, qual é a distância percorrida nessa queda? Qual é a altura final?
Informações numéricas importantes (dados do problema):
v(0)=0,\quad s(0)=50\\ \mathrm{m},\quad a(t)=-10\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entender o que significa “integrar” aqui e escrever a relação geral entre aceleração e velocidade. Se \displaystyle a=\frac{dv}{dt}, então a aceleração é a derivada da velocidade. A operação inversa da derivada é a integral (antiderivada). Logo, para qualquer instante t e tomando um instante inicial t_{0} (aqui vou usar t_{0}=0 depois), vale a identidade de integrais:
v(t)=v(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t} a(u)\,du.
Explicação das notações:
  • u é uma variável “dummy” de integração (apenas para integrar sem confundir com o limite t).
  • v(t_{0}) é a condição inicial da velocidade (a constante de integração).
    Essa fórmula diz, em palavras: a velocidade num tempo t é a velocidade inicial mais a área sob a curva da aceleração entre t_{0} e t.

Passo 3

Aplicar a integração quando a aceleração é constante. Se a(u)=a (constante), então
\int_{t_{0}}^{t} a\,du = a\,(t-t_{0}).
Substituindo na fórmula do passo anterior com t_{0}=0 e escrevendo a velocidade inicial v(0)=v_{0}, obtemos a fórmula muito útil:
v(t)=v_{0}+a\,t.
Aqui v_{0}=v(0) significa a velocidade no instante inicial e a é a aceleração constante.

Passo 4

Agora ligar a posição s(t) com a velocidade. Como \displaystyle v=\frac{ds}{dt}, fazemos a mesma operação inversa:
s(t)=s(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t} v(u)\,du.
Se v(u)=v_{0}+a\,u (caso de aceleração constante, do passo anterior), então
\int_{0}^{t} v(u)\,du = \int_{0}^{t} \big(v_{0}+a\,u\big)\,du = \int_{0}^{t} v_{0}\,du + \int_{0}^{t} a\,u\,du.
Calculo cada integral:
\int_{0}^{t} v_{0}\,du = v_{0}\,t, \qquad \int_{0}^{t} a\,u\,du = a\cdot\frac{u^{2}}{2}\Big|_{0}^{t} = \frac{1}{2}a\,t^{2}.
Portanto, com s(0)=s_{0},
s(t)=s_{0}+v_{0}\,t+\frac{1}{2}a\,t^{2}.
Explicação intuitiva: v_{0}t é a parte linear (se não houvesse aceleração) e \tfrac{1}{2}a t^{2} é a contribuição extra por causa da aceleração.

Passo 5

Agora aplico as fórmulas ao caso numérico. Temos v_{0}=0, s_{0}=50\\ \mathrm{m}, a=-10\\ \mathrm{m/s^{2}} e t=3\\ \mathrm{s}.
Primeiro a variação de posição (deslocamento) em 3\\ \mathrm{s}:
\Delta s = v_{0}t+\frac{1}{2}a t^{2} = 0\cdot 3 + \frac{1}{2}\cdot(-10)\cdot(3)^{2}.
Faço as contas passo a passo: \frac{1}{2}\cdot(-10) = -5. Em seguida -5\cdot (3)^{2} = -5\cdot 9 = -45.
Logo
\Delta s = -45\\ \mathrm{m}.
Interpretação do sinal: o deslocamento é negativo porque escolhemos sentido positivo para cima; o corpo moveu-se para baixo 45 metros. A distância percorrida (valor absoluto do deslocamento) é 45\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora calculo a altura final usando s(t)=s_{0}+\Delta s:
s(3)=50\\ \mathrm{m} + (-45\\ \mathrm{m}) = 5\\ \mathrm{m}.
Ou seja, após 3\\ \mathrm{s} o objeto está a 5\\ \mathrm{m} de altura (ainda não atingiu o solo, supondo solo em 0\\ \mathrm{m}). Se quiser, posso também calcular a velocidade no instante 3\\ \mathrm{s} como checagem: v(3)=v_{0}+a t = 0+(-10)\cdot 3 = -30\\ \mathrm{m/s} (apontando para baixo).

Resposta

Distância percorrida: 45\\ \mathrm{m}
Altura final: 5\\ \mathrm{m}

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