Calcule o valor da integral múltipla.
\iiint_{E} y^{2} z^{2} d V, onde
é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
\iiint_{E} y^{2} z^{2} d V, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região limitada pelo paraboloide
e pelo plano
O conteúdo envolvido é integração tripla e troca para coordenadas cilíndricas (no plano
).
Passo 2
Vamos descrever
projetado no plano
. Para cada ponto
com
temos
variando de
Passo 3
Troca para coordenadas cilíndricas no plano
:
O jacobiano é
. A condição
vira
.
Passo 4
Escrevendo integrando e limites,
Dentro da integral aparece
Passo 5
Fazendo primeiro a integral em
:
Logo
Passo 6
Separamos em produto de integrais. Primeiro em
:
Passo 7
Agora em
:
Passo 8
Multiplicando tudo,