Calcule o valor da integral múltipla.
\iiint_{E} y^{2} z^{2} d V, onde E é limitado pelo paraboloide x=1-y^2-z^2 e pelo plano x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaE y^2z^2,dV,
onde E é a região limitada pelo paraboloide
x = 1 - y^2 - z^2
e pelo plano
x = 0
O conteúdo envolvido é integração tripla e troca para coordenadas cilíndricas (no plano yz).

Passo 2

Vamos descrever E projetado no plano yz. Para cada ponto (y,z) com
y^2+z^2<=1,
temos x variando de
0até 1 - y^2 - z^2 é

Passo 3

Troca para coordenadas cilíndricas no plano yz:
y = rcostheta, z = rsintheta, r>=0, 0<=theta<=2pi
O jacobiano é dV = dx,(r,dr,dtheta). A condição y^2+z^2<=1 vira 0<= r<=1.

Passo 4

Escrevendo integrando e limites,
integral triplaE y^2z^2,dV = integraltheta=0^2pi!!integralr=0^1!!integralx=0^1-r^2 l(rcosthetar)^2l(rsinthetar)^2;r,dx,dr,dtheta
Dentro da integral aparece
y^2z^2,r = r^2cos^2theta;cdot;r^2sin^2theta;cdot;r = r^5cos^2thetasin^2theta

Passo 5

Fazendo primeiro a integral em x:
integral0^1-r^2r^5cos^2thetasin^2theta,dx = r^5cos^2thetasin^2theta,(1 - r^2)
Logo
integral triplaEy^2z^2,dV = integral0^2pi!!integral0^1r^5(1-r^2)cos^2thetasin^2theta,dr,dtheta

Passo 6

Separamos em produto de integrais. Primeiro em theta:
integral0^2picos^2thetasin^2theta,dtheta = 14integral0^2pisin^2(2theta),dtheta = 14cdotpi = pi4

Passo 7

Agora em r:
integral0^1r^5(1-r^2),dr = integral0^1(r^5-r^7),dr = l[tfracr^66-tfracr^88r]0^1 = 16-18 = 124

Passo 8

Multiplicando tudo,
integral triplaEy^2z^2,dV = pi4times124 = pi96

Resposta

pi96

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