Calcule o valor da integral múltipla.
, onde
é a região do primeiro quadrante que está acima da hipérbole
da reta
abaixo da reta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬_D y dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitada por cima pela reta y=2 e por baixo pela hipérbole xy=1 e pela reta y=x.
Passo 2
Para descrever D em coordenadas (x,y), note que em D valem simultaneamente as condições y≤2, y≥x e y≥1/x, com x>0, y>0. A condição y≥1/x pode ser escrita como x≥1/y. Além disso, para que 1/y≤y é preciso y^2≥1, ou seja y≥1. Logo y varia de 1 até 2 e, para cada y, x varia de 1/y até y.
Passo 3
Montamos a integral iterada na ordem dx dy:
Passo 4
Calculamos a integral interna em x:
Assim a integral fica
Passo 5
Agora integramos em y: