Calcule o valor da integral múltipla.
integral duplaD y d A, onde D é a região do primeiro quadrante que está acima da hipérbole x y=1 e da reta y=x e abaixo da reta y=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬_D y dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitada por cima pela reta y=2 e por baixo pela hipérbole xy=1 e pela reta y=x.

Passo 2

Para descrever D em coordenadas (x,y), note que em D valem simultaneamente as condições y≤2, y≥x e y≥1/x, com x>0, y>0. A condição y≥1/x pode ser escrita como x≥1/y. Além disso, para que 1/y≤y é preciso y^2≥1, ou seja y≥1. Logo y varia de 1 até 2 e, para cada y, x varia de 1/y até y.

Passo 3

Montamos a integral iterada na ordem dx dy:
integraly=1^2integralx=1/y^yy,dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
integralx=1/y^yy,dx=yl[xr]1/y^y=yl(y-1/yr)=y^2-1
Assim a integral fica
integral1^2(y^2-1),dy

Passo 5

Agora integramos em y:
integral1^2(y^2-1),dy=l[y^33-yr]1^2=l(83-2r)-l(13-1r)=43

Resposta

tfrac43

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