TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral0^1 integral0^x raizx+y^2 d y d x=integral0^x integral0^1 raizx+y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para comparar
I = integral0^1integral0^xraizx+y^2,dy,dx
com a expressão que trocaram de ordem de integração
J = integral0^xintegral0^1raizx+y^2,dx,dy
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini (troca de ordem em integrais duplas). Vamos identificar corretamente o domínio de integração e ver se a troca dada coincide com ele.

Passo 2

O domínio original é
D = (x,y)mid 0<= x<=1,; 0<= y<= x
Por isso
I = integral duplaDraizx+y^2;dA

Passo 3

Para trocar a ordem de integração em D, fixamos y primeiro. Vemos que y vai de 0 a 1 e, para cada y, x vai de y até 1. Logo a troca certa seria
I = integraly=0^1integralx=y^1raizx+y^2,dx,dy

Passo 4

A integral proposta
J = integral0^xintegral0^1raizx+y^2,dx,dy
não descreve nem o mesmo domínio nem ordem de integração correta (os limites "de y=0 a y=x" estão trocados de forma inconsistente com a dependência das variáveis). Como contra– exemplo simples, use f(x,y)=1:
integral0^1integral0^x1,dy,dx = 12,
enquanto a expressão mal formulada para J nem chega a representar um valor coerente no mesmo domínio.

Resposta

A afirmação é falsa.

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