TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se D é um disco dado por x^2+y^2 <= 4, então
integral duplaD raiz4-x^2-y^2 d A=163 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaD raiz4 - x^2 - y^2,dA
onde D é o disco x^2+y^2<=4.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares para transformar a integral de área num cálculo simples em r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com 0 <= r <= 2 e 0 <= theta <= 2pi, e o elemento de área torna-se dA = r,dr,dtheta.
Assim a integral vira
integral duplaD raiz4 - x^2-y^2,dA =integral0^2pi!!integral0^2raiz4 - r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Calculemos primeiro
I = integral0^2rraiz4 - r^2,dr
Use a substituição u = 4 - r^2, logo du = -2r,dr ou r,dr = -tfrac12,du. Os limites em u vão de u(0)=4 até u(2)=0. Então
I = integralu=4^0raizu,l(-tfrac12,dur) =tfrac12integral0^4u^1/2,du =tfrac12[tfracu^3/23/2]0^4 =tfrac12cdottfrac23cdot4^3/2 =tfrac83

Passo 4

Agora voltamos à integral completa:
integral0^2pi!!I,dtheta =integral0^2pitfrac83,dtheta =tfrac83cdot2pi =tfrac16pi3

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois
integral duplaDraiz4 - x^2-y^2,dA = 16pi3

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