TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A integral
pelo plano
.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A integral
Passo 1
Enunciado: Determinar se a integral
representa o volume do sólido delimitado pelo cone
e pelo plano
. O conteúdo envolvido é integral tripla em coordenadas cilíndricas e o uso do jacobiano para obter o elemento de volume.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos as variáveis
com o elemento de volume
. Para descrever o sólido dado, usamos as fronteiras
,
e
. O volume correto é dado por
Passo 3
A integral fornecida porém é
once falta o fator
(o jacobiano). Se calcularmos sem esse fator obtemos
enquanto o volume real do cone é
Passo 4
Portanto, a integral proposta não representa o volume do sólido, pois deixou de considerar o fator
do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Resposta
Falsa. Na passagem para coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
, e a integral dada omite esse fator
, deixando de representar o volume correto.