TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A integral
l integral0^2 pi integral0^2 integralr^2 d z d r d theta representa o volume delimitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e
pelo plano z=2.

Passo 1

Enunciado: Determinar se a integral integral0^2piintegral0^2integralr^2dz,dr,dtheta representa o volume do sólido delimitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=2. O conteúdo envolvido é integral tripla em coordenadas cilíndricas e o uso do jacobiano para obter o elemento de volume.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos as variáveis (r,theta,z) com o elemento de volume dV=r,dr,dtheta,dz. Para descrever o sólido dado, usamos as fronteiras 0<=theta<=2pi, 0<= r<=2 e r<= z<=2. O volume correto é dado por
integral0^2piintegral0^2integralr^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

A integral fornecida porém é
integral0^2piintegral0^2integralr^2dz,dr,dtheta,
once falta o fator r (o jacobiano). Se calcularmos sem esse fator obtemos
integral0^2pidthetaintegral0^2(2-r)dr=2pil[2r-tfracr^22r]0^2=4pi,
enquanto o volume real do cone é
tfrac13pi (2)^2(2)=tfrac8pi3

Passo 4

Portanto, a integral proposta não representa o volume do sólido, pois deixou de considerar o fator r do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Resposta

Falsa. Na passagem para coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz, e a integral dada omite esse fator r, deixando de representar o volume correto.

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