TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral-1^1 integral0^1 e^x^2+y^2 sen y d x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar se
integral-1^1integral0^1e^x^2+y^2sin y,dx,dy=0
Este é um problema de integrais duplas e simetria de funções pares e ímpares. Vamos usar a propriedade de funções ímpares integradas em intervalo simétrico.

Passo 2

Reescrevendo a integral, vemos que podemos separar a parte que depende de x da parte que depende de y:
integral-1^1integral0^1e^x^2+y^2sin y,dx,dy=integral-1^1sin y(integral0^1e^x^2+y^2,dx),dy
Note que para cada y temos a integral interna integral0^1e^x^2+y^2dx, que é uma função de y^2 e, portanto, é par em y.

Passo 3

Sabendo que sin y é uma função ímpar e g(y)=integral0^1e^x^2+y^2dx é par (pois depende de y^2), o produto
f(y)=sin ycdot g(y)
é uma função ímpar.

Passo 4

Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Ou seja,
integral-1^1f(y),dy=0
Aqui temos exatamente essa situação, logo a integral dada vale zero.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois o integrando é função ímpar de y em um intervalo simétrico, o que faz a integral dupla ser zero.

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