TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se
Este é um problema de integrais duplas e simetria de funções pares e ímpares. Vamos usar a propriedade de funções ímpares integradas em intervalo simétrico.
Passo 2
Reescrevendo a integral, vemos que podemos separar a parte que depende de x da parte que depende de y:
Note que para cada y temos a integral interna
, que é uma função de
e, portanto, é par em y.
Passo 3
Sabendo que
é uma função ímpar e
é par (pois depende de
), o produto
é uma função ímpar.
Passo 4
Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Ou seja,
Aqui temos exatamente essa situação, logo a integral dada vale zero.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois o integrando é função ímpar de y em um intervalo simétrico, o que faz a integral dupla ser zero.