Calcule o valor da integral múltipla.
integral duplaD y1+x^2 d A, onde D é a região triangular de vértices (0,0),(1,1) e (0,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral múltipla da função
f(x,y)=y1+x^2
sobre a região triangular D com vértices (0,0), (1,1) e (0,1).
O conteúdo é integração dupla e vamos precisar:
  1. Descrever geometricamente D.
  2. Escolher uma ordem de integração e determinar os limites.
  3. Executar a integração iterada.

Passo 2

Para entender D, note que seus vértices indicam um triângulo com base vertical em x=0 de y=0 a y=1 e hipotenusa na reta que vai de (0,0) a (1,1), cujo equação é y=x. Assim, para cada x entre 0 e 1, y varia de y=x até y=1.

Passo 3

Escrevemos a integral como
integral duplaD y1+x^2,dA =integralx=0^1integraly=x^1 y1+x^2,dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
integraly=x^1 y,dy =gl[tfracy^22gr]y=x^y=1 =12(1 - x^2)
Logo a integral vira
integral0^1 12,1 - x^21+x^2,dx

Passo 5

Fatoramos e separamos o integrando:
1 - x^21+x^2 =1 ;-;2x^21+x^2
Então
integral0^1 1 - x^21+x^2,dx =integral0^1dx ;-;2integral0^1x^21+x^2,dx

Passo 6

Calculamos
integral0^1x^21+x^2,dx =integral0^1l(1 - 11+x^2r)dx =l[xr]0^1 -l[arctan(x)r]0^1 =1 - pi4
Substituindo em
integral0^11 - x^21+x^2,dx =1 - 2l(1 - pi4r) =-1 + pi2
Não esquecer do fator tfrac12 que estava fora da integral.

Resposta

integral duplaDy1+x^2,dA =-tfrac12 + pi4 =pi4-12

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