Calcule o valor da integral múltipla.
, onde D é a região triangular de vértices
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral múltipla da função
sobre a região triangular
com vértices
,
e
.
O conteúdo é integração dupla e vamos precisar:
O conteúdo é integração dupla e vamos precisar:
- Descrever geometricamente
. - Escolher uma ordem de integração e determinar os limites.
- Executar a integração iterada.
Passo 2
Para entender
, note que seus vértices indicam um triângulo com base vertical em
de
a
e hipotenusa na reta que vai de
a
, cujo equação é
. Assim, para cada
entre
e
,
varia de
até
.
Passo 3
Escrevemos a integral como
Passo 4
Primeiro integramos em
, tratando
como constante:
Logo a integral vira
Passo 5
Fatoramos e separamos o integrando:
Então
Passo 6
Calculamos
Substituindo em
Não esquecer do fator
que estava fora da integral.