Descreva a região cuja área é dada pela integral
integral0^pi / 2 integral0^sen 2 theta r d r d theta

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^pi/2integral0^sen 2thetar,dr,dtheta
e pede para descrever a região do plano cuja área é dada por essa integral. O conteúdo aqui é interpretação em coordenadas polares, onde o elemento de área vale dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

O segundo passo é ler os limites de integração em polares:
  • theta varia de 0 até pi/2, ou seja, estamos no primeiro quadrante.
  • Para cada theta fixo, r varia de 0 até sen 2theta.
Isso significa que, para cada raio que faz ângulo theta com o eixo x, o ponto vai de r=0 até a curva dada por
r = sen 2theta

Passo 3

Em coordenadas polares, a região D é exatamente
D = (r,theta)mid 0<=theta<=pi/2,;0<= r<= sen 2theta
Geometricamente, o gráfico de r=sen 2theta é uma “pétala” de rosa (rosa de duas pétalas) que se abre no primeiro quadrante, vai de r=0 em theta=0 até r=1 em theta=pi/4 e volta a r=0 em theta=pi/2. A região é tudo que está dentro desse laço e dentro do primeiro quadrante.

Passo 4

Se formos descrever a mesma curva em coordenadas cartesianas, partimos de
r = sen 2theta = 2senthetacostheta
Como x = rcostheta e y = rsentheta, temos
sentheta = yr, costheta = xr,
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r = 2yrxr Longrightarrow r^3 = 2xy Longrightarrow (x^2+y^2)^3/2=2xy
Assim, em coordenadas cartesianas, D é a porção do primeiro quadrante limitada pelos eixos x e y e pela curva
(x^2+y^2)^3/2=2xy

Resposta

A região é o interior da “pétala” no primeiro quadrante do gráfico polar da curva , ou seja,

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