Descreva a região cuja área é dada pela integral
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede para descrever a região do plano cuja área é dada por essa integral. O conteúdo aqui é interpretação em coordenadas polares, onde o elemento de área vale
.
Passo 2
O segundo passo é ler os limites de integração em polares:
-
varia de até , ou seja, estamos no primeiro quadrante. - Para cada
fixo, varia de até .
Isso significa que, para cada raio que faz ângulo
com o eixo
, o ponto vai de
até a curva dada por
Passo 3
Em coordenadas polares, a região
é exatamente
Geometricamente, o gráfico de
é uma “pétala” de rosa (rosa de duas pétalas) que se abre no primeiro quadrante, vai de
em
até
em
e volta a
em
. A região é tudo que está dentro desse laço e dentro do primeiro quadrante.
Passo 4
Se formos descrever a mesma curva em coordenadas cartesianas, partimos de
Como
e
, temos
logo
Assim, em coordenadas cartesianas,
é a porção do primeiro quadrante limitada pelos eixos
e
e pela curva
Resposta
A região é o interior da “pétala” no primeiro quadrante do gráfico polar da curva , ou seja,