Calcule o valor da integral múltipla.
integral duplaD(x^2+y^2)^3 / 2 d A, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y=0 e y=raiz3 x e pelo círculo x^2+y^2=9

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaD (x^2+y^2)^3/2,dA,
onde D é a região do primeiro quadrante limitada por y=0, y=raiz3,x e pelo círculo x^2+y^2=9.
O conteúdo é integral dupla e usaremos coordenadas polares para simplificar a expressão de x^2+y^2 e o elemento de área.

Passo 2

Em coordenadas polares, x=rcostheta, y=rsintheta e x^2+y^2=r^2.
As fronteiras de D passam por
y=0 Longrightarrow theta=0, y=raiz3,x Longrightarrow tantheta=raiz3 Longrightarrow theta=pi3, x^2+y^2=9 Longrightarrow r=3
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0 <= theta <= pi3, 0 <= r <= 3

Passo 3

Na integral,
(x^2+y^2)^3/2 = (r^2)^3/2 = r^3
e o elemento de área é dA = r,dr,dtheta.
Portanto
integral duplaD (x^2+y^2)^3/2,dA = integral0^pi/3integral0^3 r^3cdot r ,dr,dtheta = integral0^pi/3integral0^3 r^4 ,dr,dtheta

Passo 4

Calcular a integral interna em r:
integral0^3 r^4,dr = [r^55]0^3 = 3^55 = 2435

Passo 5

Agora a integral em theta:
integral0^pi/3 2435,dtheta = 2435,l[thetar]0^pi/3 = 2435cdotpi3 = 81pi5

Resposta

81pi5

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