TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
A integral integral triplaE k r^3 d z d r d theta representa o momento de inércia em relação ao eixo z de um sólido E com densidade constante k.

Passo 1

O enunciado afirma que
integral triplaE k,r^3,dz,dr,dtheta
seria o momento de inércia em torno do eixo z de um sólido E de densidade constante k. O conteúdo aqui é o conceito de momento de inércia em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Por definição, o momento de inércia em relação ao eixo z de um corpo de densidade rho é
Iz=integral triplaErho,(x^2+y^2),dV

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas temos
x^2+y^2=r^2,
e o volume elementar é
dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 4

Substituindo rho=k, x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz em Iz, obtemos
Iz =integral triplaEk,r^2,l(r,dr,dtheta,dzr) =integral triplaEk,r^3,dz,dr,dtheta,
que coincide exatamente com a integral dada.

Resposta

Verdadeira.

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